题目列表(包括答案和解析)
13.已知函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(2+x)=f(2-x).
(1)证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
(2)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
(1)证明:设P(x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意一点,则y0=f(x0).
点P关于直线x=2的对称点P′的坐标应为(4-x0,y0).
∵f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0.
∴点P′也在函数y=f(x)的图象上.
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(2)解析:由f(x)=2x-1,x∈[0,2]及f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0];
当x∈[2,4]时,由f(x)图象关于x=2对称,用4-x代入f(x)=2x-1,
得f(4-x)=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,x∈[2,4],再由f(x)为偶函数,
得f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
故f(x)=
12.已知函数f(x)的图象可由函数g(x)=(m≠0)的图象向右平移两个单位长度得到.
(1)写出函数f(x)的解析式;
(2)证明:函数f(x)的图象关于直线y=x?对称;
(3)当x∈M时,函数f(x)的最大值为2+m2,最小值为2-,试确定集合M.
(1)解析:f(x)=g(x-2)=.
(2)证明:求f(x)的反函数f-1(x),可得f-1(x)=f(x),∴f(x)的图象关于直线y=x对称.
(3)解析:显然函数f(x)在(-∞,2)与(2,?+∞)上都是减函数.因此,只有在(-∞,a)∪[b,+∞]上取得最值,其中a<2,b>2,而且f(a)为最小值,f(b)为最大值,于是2+,2+
=2+m2.解得a=-
,b=
.因此,M={x|x≤-
或x≥
}.
11.作函数f(x)=的图象,并写出它的单调递增区间和递减区间.
解析:图象如右图所示,单调增区间为(-∞,),(1,+∞);单调减区间为(
,1].
10.(2010山东潍坊一模,16)已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x),图象如下图所示.
对满足0<x1<x2<1的任意x1、x2,给出下列结论:
①f(x1)-f(x2)>x1-x2;②x2f(x1)>x1f(x2);③.
其中正确结论的序号是________________.(把所有正确结论的序号都填上)
答案:②③
解析:①f(x1)-f(x2)>x1-x2>1.联系图象与斜率公式否定.②构造函数f(x)=-x2+2x,g(x)=
=-x+2.肯定其正确性.③函数的凹凸性或利用图象的性质.
9.设f(x)表示-x+6和-2x2+4x+6中较小者,则函数的f(x)的最大值是_________________.
答案:6
解析:在同一坐标系中分别作出函数y=-x+6和y=-2x2+4x+6的图象如右图.显然,图中的实线部分为函数y=f(x)的图象.不难看出,当x=0时,f(x)有最大值为6.
8.若函数f(x)的图象经过点(0,-1),则函数f(x+3)的反函数的图象必经过点_______________.
答案:(-1,-3)
解析:由f(x)的图象经过点(0,-1),得?f(x+3)的图象经过点(-3,-1).∴f-1(x+3)的图象必经过点(-1,-3).
7.已知f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上两个点,那么|f(x+1)|<1的解集是( )
A.(-∞,3) B.(-∞,2) C.(0,3) D.(-1,2)
答案:D
解析:-1<f(x+1)<1f(0)<f(x+1)<f(3)
0<x+1<3,即-1<x<2.
6.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的图象是图中的( )
答案:D
解析:当1-x≤1即x≥0时,f(1-x)=21-x;
当1-x>1即x<0时,
f(1-x)=(1-x).
∴f(1-x)=故选D.
5.(2010北京东城区一模,7)设函数f(x)的图象关于点(1,)对称,且存在反函数f-1(x),若f(3)=0,则f-1(3)等于( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
答案:A
解析:∵f(3)=0,即函数过点(3,0),又∵函数图象关于点(1,)对称,∴函数也过点?(-1,3),即f(-1)=3.∴f-1(3)=-1,故选A.
4.函数y=1(x+1)2的大致图象是( )
答案:C
解析:因x≠-1,故排除A、B.又当x>-1时,y=(t>0)递减,t=(x+1)2递增,故y=
在(-1,+∞)上是减函数,排除D.选C.
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