题目列表(包括答案和解析)

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2.设f(x)=则f(x)dx等于             ( )

A.     B.      C.      D.不存在

解析:数形结合,

f(x)dx=x2dx+(2-x)dx

=

=.

答案:C

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1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于            ( )

A.0     B.4    C.8     D.16

解析:原式=f(x)dx+f(x)dx

∵原函数为偶函数,

∴在y轴两侧的图象对称,

∴对应的面积相等,即8×2=16.

答案:D

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12.(文)若f(x)=x2x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1).

(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值;

(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1),求x的取值范围.

解:(1)∵f(x)=x2x+b

f(log2a)=(log2a)2-log2a+bb

∴log2a=1,∴a=2.

又∵log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2a+b=4,∴b=2.

f(x)=x2x+2.

f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=2+.

∴当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.

(2)由题意知

(理)已知f(x)=logaxg(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R).

(1)当t=4,x∈,且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2时,求a的值;

(2)当0<a<1,x∈时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.

解:(1)当t=4时,

F(x)=g(x)-f(x)=logax∈,

h(x)==4(x++2),x∈,则

h′(x)=4(1-)=>0,

h(x)在上是单调增函数,

h(x)min=16,h(x)max=18.

当0<a<1时,有F(x)min=loga18,

令loga18=2求得a=3>1(舍去);

a>1时,有F(x)min=loga16,

令loga16=2求得a=4>1.∴a=4.

(2)当0<a<1,x∈时,有f(x)≥g(x)恒成立,

即当0<a<1,x∈时,logax≥2loga(2x+t-2)恒成立,

由logax≥2loga(2x+t-2)可得loga≥loga(2x+t-2),

∴≤2x+t-2,∴t≥-2x++2.

u(x)=-2x++2=-2()2++2

=-2(-)2+,

x∈,∴∈.

u(x)maxu(1)=1.

∴实数t的取值范围为t≥1.

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11.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是  .

解析:定义域为(0,+∞)∪(-∞,-),当x∈(0,)时,2x2+x∈(0,1),因为a> 0,a≠1,设u=2x2+x>0,y=logau在(0,1)上大于0恒成立,∴0<a<1,所以函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)的单调递增区间是u=2x2+x(x∈(-∞,-)∪(0,+∞))的递减区间,即(-∞,-).

答案:(-∞,-)

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10.(2009·辽宁高考)已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=()x;当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)=                          ( )

A.    B.     C.       D.

解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.

∴3<2+log23<4,

f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)

=.

答案:A

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9.已知f(x)=loga(ax2x)(a>0,且a≠1)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.

解:设tax2xa(x-)2-,

f(x)=logat在上是增函数,

所以实数a的取值范围为(1,+∞).

题组四
对数函数的综合应用

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7.(2010·诸城模拟)若定义运算f(a*b)=      则函数f的值域是                                 ( )

A.(-1,1)    B.       D.上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )

A.    B.    C. 2      D. 4

解析:故yaxy=loga(x+1)单调性相同且在上的最值分别在两端点处取得.

最值之和:f(0)+f(1)=a0+loga1+a+loga2=a

∴loga2+1=0,∴a=.

答案:B

(理)函数f(x)=ax+logax在区间上的最大值与最小值之和为-,最大值与最小值之积为-,则a等于                         ( )

A.2     B.    C.2或      D.

解析:ax与logax具有相同的单调性,最大值与最小值在区间的端点处取得,f(1)+f(2)=-,f(1)·f(2)=-,解得a=.

答案:B

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6.(2009·天津高考)设abc=()0.3,则         ( )

A.abc   B.acb   C.bca    D.bac

解析:∵=0,∴a<0;

=1,∴b>1;

∵()0.3<1,∴0<c<1,故选B.

答案:B

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5.已知函数f(x)= g(x)=lnx,则f(x)与g(x)两函数的图象的交点

个数为                               ( )

A.1     B.2      C.3       D.4

解析:画出f(x)=

g(x)=lnx的图象如图,两函数的图象的交点个数为3,故选C.

答案:C

题组三
对数函数的性质

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4.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,其中ab为常数,则函数g(x)=ax+b的大致图象是                              ( )

解析:由题意得0<a<1,0<b<1,则函数g(x)=ax+b的大致图象是D.

答案:D

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