3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝a^x·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若+＝，则a等于________．

解析：由f(x)＝a^x·g(x)得＝a^x，所以+＝⇒a+a^－1＝，解得a＝2或.答案：2或

2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x²+2ax与g(x)＝(a+1)^1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：f(x)＝－x²+2ax＝－(x－a)²+a²，所以f(x)在[a，+∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1.答案：(0,1]

1．如果函数f(x)＝a^x+b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①0<a<1且b>0　②0<a<1且0<b<1　③a>1且b<0　 ④a>1且b>0

解析：当0<a<1时，把指数函数f(x)＝a^x的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1.答案：②

6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t²－2t)+f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.

从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)法一：由(1)知f(x)＝＝－+，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t²－2t)+f(2t²－k)<0⇔f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²+k)．

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t²－2t>－2t²+k.

即对一切t∈R有3t²－2t－k>0，从而Δ＝4+12k<0，解得k<－.

法二：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得+<0

即(2^2t2－k+1+2)(－2^t2－2t+1)+(2^t2－2t+1+2)(－2^2t2－k+1)<0

整理得2^3t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t²－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4+12k<0，解得k<－.

B组

5．(原创题)若函数f(x)＝a^x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

解析：由题意知无解或⇒a＝.答案：

4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝a^x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a^x与函数y＝x+a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1. 答案：(1，+∞)

3．函数y＝()^2x－x2的值域是________．

解析：∵2x－x²＝－(x－1)²+1≤1，

∴()^2x－x2≥.答案：[，+∞)

2．已知f(x)＝a^x+b的图象如图所示，则f(3)＝________.

解析：由图象知f(0)＝1+b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a²－3＝0，∴a＝，则f(3)＝()³－3＝3－3.

答案：3－3

1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且a^b+a^－b＝2，则a^b－a^－b的值等于________．

解析：∵a>1，b<0，∴0<a^b<1，a^－b>1.又∵(a^b+a^－b)²＝a^2b+a^－2b+2＝8，∴a^2b+a^－2b＝6，∴(a^b－a^－b)²＝a^2b+a^－2b－2＝4，∴a^b－a^－b＝－2.答案：－2

8．设函数，

　 (I)求证：当且仅当a≥1时，f(x)在内为单调函数；

　 (II)求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是增函数.