5．若集合A＝{(x，y)|y＝1+}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)+4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．

解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x²+(y－1)²＝4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(－2,1)，k_PA＝，过P与半圆相切时，k＝，∴<k≤.

答案：＜k≤

4．过点A(11,2)作圆x²+y²+2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．

解析：方程化为(x+1)²+(y－2)²＝13²，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2+2×(25－10)＝32(条)．答案：32

3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα+ysinα＝0与圆(x+cosβ)²+(y+sinβ)²＝的位置关系是________．

解析：cos60°＝cosα·cosβ+sinα·sinβ＝cos(α－β)，

d＝＝|cos(α－β)|＝>＝r.答案：相离

2．(2010年秦州质检)已知直线y＝－x与圆x²+y²＝2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB＝____________.

解析：弦心距长为，半径为，所以弦AB所对的圆心角为，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝.答案：

1．直线ax+by+b－a＝0与圆x²+y²－x－3＝0的位置关系是________．

解析：直线方程化为a(x－1)+b(y+1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交

6．(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x+4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC²＝t²+.设圆C的方程是(x－t)²+(y－)²＝t²+，令x＝0，得y₁＝0，y₂＝；令y＝0，得x₁＝0，x₂＝2t.

∴S_△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．

(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵k_MN＝－2，∴k_{O C}＝，

∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x+4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x+4相交于两点．

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x+4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x+4不相交，

∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)²+(y－1)²＝5.

B组

5．(原创题)已知直线x－y+2^m＝0与圆x²+y²＝n²相切，其中m，n∈N^*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．

解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2^m－1＝n，所以

2^m－1－m<5，因为m，n∈N^*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个

4．若直线3x+4y+m＝0与圆x²+y²－2x+4y+4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．

解析：将圆x²+y²－2x+4y+4＝0化为标准方程，得(x－1)²+(y+2)²＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.

若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，

即d＝＝>1，∴m<0或m>10.

答案：(－∞，0)∪(10，+∞)

3．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x²+y²－6x－8y+20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

解析：∵圆的标准方程为(x－3)²+(y－4)²＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，

∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：4

2．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x²+y²＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

解析：依题意，过A(1,2)作圆x²+y²＝5的切线方程为x+2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××5＝.答案：