3．(2010年广东汕头调研)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x²+y²＝4在区域D内的弧长为________．

答案：π

2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．

解析：由题意，设圆心(x_0,1)，∴＝1，解得x₀＝2或x₀＝－(舍)，

∴所求圆的方程为(x－2)²+(y－1)²＝1.

1．若圆x²+y²－2kx+2y+2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．

解析：圆的方程为(x－k)²+(y+1)²＝k²－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.

12．(2009年高考江苏卷)

如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：(x+3)²+(y－1)²＝4和圆C₂：(x－4)²+(y－5)²＝4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

解：(1)由于直线x＝4与圆C₁不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C₁的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C₁截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k+7)＝0，即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x+24y－28＝0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l₁的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l₂的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C₁和圆C₂的半径相等，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，所以圆C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，即

＝，

整理得|1+3k+ak－b|＝|5k+4－a－bk|，从而1+3k+ak－b＝5k+4－a－bk或1+3k+ak－b＝－5k－4+a+bk，

即(a+b－2)·k＝b－a+3或(a－b+8)k＝a+b－5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得或

这样点P只可能是点P₁(，－)或点P₂(－，)．

经检验点P₁和P₂满足题目条件．

11．(2010年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x²+y²＝1，直线l₁过定点A(3,0)，且与圆C相切．

(1)求直线l₁的方程；

(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l₂，直线PM交直线l₂于点P′，直线QM交直线l₂于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．

解：(1)∵直线l₁过点A(3,0)，且与圆C：x²+y²＝1相切，设直线l₁的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

则圆心O(0,0)到直线l₁的距离为d＝＝1，解得k＝±，

∴直线l₁的方程为y＝±(x－3)．

(2)对于圆C：x²+y²＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l₂过点A且与x轴垂直，∴直线l₂方程为x＝3.

设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x+1)．

解方程组得P′(3，)．同理可得Q′(3，)．

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为

(x－3)(x－3)+(y－)(y－)＝0，又s²+t²＝1，

∴整理得(x²+y²－6x+1)+y＝0，

若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x²－6x+1＝0，解得x＝3±2，

∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±2，0)．

10．已知圆C₁：x²+y²+2x+2y－8＝0与圆C₂：x²+y²－2x+10y－24＝0相交于A、B两点，

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．

解：(1)⇒x－2y+4＝0.

(2)由(1)得x＝2y－4，代入x²+y²+2x+2y－8＝0中得：y²－2y＝0.

∴或，即A(－4,0)，B(0,2)，

又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，∴⊙M：(x+3)²+(y－3)²＝10.

9．(2009年高考江西卷)设直线系M：xcosθ+(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：

A．存在一个圆与所有直线相交

B．存在一个圆与所有直线不相交

C．存在一个圆与所有直线相切

D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．

解析：xcosθ+ysinθ－2sinθ－1＝0.则点(0,2)到其直线的距离为

d＝＝1.

∴说明此直线是圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线．

圆心为(0,2)，半径大于等于1的圆与所有直线相交，A对；

圆心为(0,2)，半径小于1的圆与所有直线不相交，B对；

圆心为(0,2)，半径等于1的圆与所有直线都相切，C对；

因为M中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切，所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等．如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等．答案：A、B、C

8．设圆O：x²+y²＝，直线l：x+3y－8＝0，点A∈l，使得圆O上存在点B，且∠OAB＝30°(O为坐标原点)，则点A的横坐标的取值范围是________．

解析：依题意点A∈l，设A(x₀，)．过点A作圆O的切线，切点为M，

则∠OAM≥∠OAB＝30°.从而sin∠OAM≥sin30°＝，即≥sin30°＝，就是|OA|²≤4(|OM|²)＝，x₀²+()²≤，5x₀²－8x₀≤0，解得x₀∈[0，]．

答案：[0，]

7．(2010年宁波调研)已知圆C：x²+y²+bx+ay－3＝0(a、b为正实数)上任意一点关于直线l：x+y+2＝0的对称点都在圆C上，则+的最小值为________．

解析：由题意，知圆心在直线上，所以－+(－)+2＝0，

∴+＝1，则(+)(+)＝1++≥1+2　 ＝1+.

6．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x²+y²＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．

解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂²＝OM²＝3.

四边形ABCD的面积S＝|AB|·|CD|＝2≤8－(d₁²+d₂²)＝5.