11．已知直线l：ay＝(3a－1)x－1.

(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；

(2)a取何值时，直线l不过第二象限？

解：(1)证明：由直线l：ay＝(3a－1)x－1，得a(3x－y)+(－x－1)＝0，

由，得，

所以直线l过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限．

(2)直线l不过第二象限，应有斜率k＝≥0且－≤0.

∴a≥时直线l不过第二象限．

10．已知直线方程为(2+m)x+(1－2m)y+4－3m＝0.

(1)证明：直线恒过定点M；

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

解：(1)证明：(2+m)x+(1－2m)y+4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由得，∴直线必过定点(－1，－2)．

(2)设直线的斜率为k，则其方程为y+2＝k(x+1)，∴OA＝－1，OB＝k－2，

S_△AOB＝·|OA|·|OB|＝|(－1)(k－2)|＝|－|.

∵k<0，∴－k>0，∴S_△AOB＝[－]＝[4+(－)+(－k)]≥4.

当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB的面积最小值是4，

直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即y+2x+4＝0.

9．(2010年湛江质检)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P是AB上的一动点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是________．

解析：以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，所以A(3,0)，B(0,4)．直线AB：+＝1，设P(x，y)，所以P到AC、BC的距离乘积为xy，xy＝x(4－x)＝－x²+4x＝－[(x－)²－]≤×＝3.

答案：3

8．直线ax+y+1＝0与连结A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是__．

解析：∵直线ax+y+1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在直线AC与BC之间时，必与线段AB相交，故应满足－a≥或－a≤，即a≤－2或a≥1.

7．已知两直线a₁x+b₁y+1＝0与a₂x+b₂y+1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q₁(a₁，b₁)，Q₂(a₂，b₂)的直线方程是______________________．

解析：由条件可得2a₁+3b₁+1＝0,2a₂+3b₂+1＝0，显然点(a₁，b₁)与(a₂，b₂)在直线2x+3y+1＝0上．

6．函数y＝asinx－bcosx的一个对称轴方程为x＝，则直线ax－by+c＝0的倾斜角为______．

解析：令f(x)＝asinx－bcosx，由于f(x)的一条对称轴为x＝，得f(0)＝f()，即－b＝a，＝－1.∴直线ax－by+c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.

5．(2010年苏州模拟)若ab<0，则过点P(0，－)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角的取值范围是__________．

解析：k_PQ＝＝<0.又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线PQ的倾斜角的取值范围是(，π)．

4．若直线(k²－1)x－y－1+2k＝0不过第二象限，则实数k的取值范围是________．

解析：由直线方程可化为y＝(k²－1)x+2k－1，直线不过第二象限，

∴或或，解之得k≤－1.

3．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点恰为(1，－1)，则直线l的斜率为________．

解析：设直线l与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q的中点为(1，－1)，∴c＝－2－1＝－3，代入x－y－7＝0可得b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴k_PQ＝＝－.

2．已知直线y＝kx－2k－1与直线x+2y－4＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．

解析：由，解之得，∵交点在第一象限，∴x>0，y>0，得k>或k<－.