4.如果函数f (x)＝x²+2(a－1)x+2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是

(　)

A.　　 C.(－∞，5]　 　　D.上是减函数，要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a≥4，即a≤－3.

答案：B

2.函数y＝x²+b x+c(x∈上是减函数.

当x₁>x₂≥时，恒有0<<1，

则f (x₁)－f (x₂)>0，故f (x)在[，+∞)上是增函数.

∵f (x)是奇函数，

∴f (x)在(－∞，－]，[，+∞)上为增函数；

f (x)在上为减函数.

1.(2009·福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意x₁，x₂∈(0，+∞)，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)”的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.f(x)＝ 　　　　　　　　　　　　　B.f(x)＝(x－1)²

C.f(x)＝e^x　 　　　　　　　　　　　　D.f(x)＝ln(x+1)

解析：∵对任意的x₁，x₂∈(0，+∞)，当x₁<x₂时，

都有f(x₁)>f(x₂)，∴f(x)在(0，+∞)上为减函数.

答案：A

12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．

求证：(1)AB⊥平面CDE；

(2)平面CDE⊥平面ABC；

(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.

证明：(1)⇒CE⊥AB，同理，

⇒DE⊥AB，

又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.

(2)由(1)知AB⊥平面CDE，

又∵AB⊂平面ABC，

∴平面CDE⊥平面ABC.

(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，则＝，

在AE上取点F使得＝，

则GF∥EH，

11．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB＝2BC，E，F，E₁分别是棱AA₁，BB₁，A₁B₁的中点．

(1)求证：CE∥平面C₁E₁F；

(2)求证：平面C₁E₁F⊥平面CEF.

证明：(1)取CC₁的中点G，连结B₁G交C₁F于点F₁，连结E₁F₁，A₁G，FG，

∵F是BB₁的中点，BCC₁B₁是矩形，

∵四边形FGC₁B₁也是矩形，

∴FC₁与B₁G相互平分，即F₁是B₁G的中点．

又E₁是A₁B₁的中点，∴A₁G∥E₁F₁.

又在长方体中，AA₁綊CC₁，E，G分别为AA₁，CC₁的中点，

∴A₁E綊CG，∴四边形A₁ECG是平行四边形，

∴A₁G∥CE，∴E₁F₁∥CE.

∵CE⊄平面C₁E₁F，E₁F₁⊂平面C₁E₁F，

∴CE∥平面C₁E₁F.

(2)∵长方形BCC₁B₁中，BB₁＝2BC，F是BB₁的中点，

∴△BCF、△B₁C₁F都是等腰直角三角形，

∴∠BFC＝∠B₁FC₁＝45°，

∴∠CFC₁＝180°－45°－45°＝90°，

∴C₁F⊥CF.

∵E，F分别是矩形ABB₁A₁的边AA₁，BB₁的中点，

∴EF∥AB.

又AB⊥平面BCC₁B₁，又C₁F⊂平面BCC₁B₁，

∴AB⊥C₁F，∴EF⊥C₁F.

又CF∩EF＝F，∴C₁F⊥平面CEF.

∵C₁F⊂平面C₁E₁F，∴平面C₁E₁F⊥平面CEF.

10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．

(1)求证：OE∥平面SAB；

(2)求证：平面SOF⊥平面SAB.

证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，

∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，

∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG

∴OE∥平面SAB

(2)∵SO⊥平面ABC，

∴SO⊥OB，SO⊥OA，

又∵OA＝OB，SA²＝SO²+OA²，SB²＝SO²+OB²，

∴SA＝SB，又F为AB中点，

∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，

∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面SOF，

∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB.

9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．

解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.

由PM⊥BC，

∴PM＝＝a，

连结PG并延长与AD相交于N点，

则PN＝a，MN＝AB＝a，

∴PM²+PN²＝MN²，

∴PM⊥PN，又PM⊥AD，

∴PM⊥面PAD，

∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数

8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．

解析：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP.

∴在Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ.

在△BHC中，CH²＝(3cosθ)²+4²－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，

∴在Rt△ACH中，

AC²＝25－12sin2θ，

∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45°

7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在直线______上．

解析：由AC⊥AB，AC⊥BC₁，AC⊥平面ABC₁，AC⊂平面ABC，∴平面ABC₁⊥平面ABC，C₁在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．答案：AB

6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为________．

解析：∵m⊥α，n⊥β，

∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补．

∵二面角α－l－β为30°，

∴异面直线m、n所成的角为30°.答案：30°