20．(本小题满分12分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂.根据市场分析，X₁和X₂的分布列分别为

(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y₁)，D(Y₂)；

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．

解：(1)由题设可知Y₁和Y₂的分布列分别为

E(Y₁)＝5×0.8+10×0.2＝6(万元)，

D(Y₁)＝(5－6)²×0.8+(10－6)²×0.2＝4，

E(Y₂)＝2×0.2+8×0.5+12×0.3＝8(万元)，

D(Y₂)＝(2－8)²×0.2+(8－8)²×0.5+(12－8)²×0.3＝12.

(2)f(x)＝D(Y₁)+D(Y₂)

＝()²D(Y₁)+()²D(Y₂)

＝＝(4x²－600x+3×100²)．

故当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．

19．(本小题满分12分)甲，乙两人约定在下午1点到2点之间到某汽车站乘公共汽车．又这段时间内有4班公共汽车，它们的开车时刻分别为1∶15,1∶30,1∶45，2∶00.已知甲、乙到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1点到2点的任何时刻到达车站是等可能的．

(1)如果他们约定见车就乘，求甲，乙同乘一辆车的概率；

(2)如果他们约定最多等一辆车，求甲，乙同乘一辆车的概率．

解：设x，y(1≤x≤2,1≤y≤2)分别为甲，乙到达的时刻．P为甲乙同乘一辆车的概率．

(1)见车就上的情况如图(1)所示．

P＝＝＝.

(2)法一：最多等一辆车的情况下，甲乙同乘一车包括3种情况：见车就上；甲先到达等一辆车然后与乙同乘一辆车(如图(2))；乙先到达等一辆车，然后与甲同乘一车．

P＝+×2＝.

法二：如图(3)，P＝＝.

18．(本小题满分12分)(2010·大连模拟)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为.

(1)求该小组中女生的人数；

(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)设该小组中有n个女生．

根据题意，得＝.

解得n＝6，n＝4(舍去)．

∴该小组中有6个女生．

(2)由题意，ξ的取值为0,1,2,3.

∵P(ξ＝0)＝××＝；

P(ξ＝1)＝C××+²×＝；

P(ξ＝2)＝C²×+²×＝；

P(ξ＝3)＝²×＝.

故ξ的分布列为：

∴E(ξ)＝0×+1×+2×+3×＝.

17．(本小题满分12分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”．

求：(1)不放回时，事件A、B的概率；

(2)每次抽后放回时，A、B的概率．

解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，

∴P(A)＝＝.

因为红球数占总球数的，在每一次抽到都是随机地等可能事件，

∴P(B)＝.

(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法6³＝216种，事件A含基本事件3×2×4×4＝96种．

∴P(A)＝＝.

第三次抽到红球包括B₁＝{红，黄，红}，B₂＝{黄，黄，红}，B₃＝{黄，红，红}，B₄＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B₁)＝＝；

P(B₂)＝＝；

P(B₃)＝＝；

P(B₄)＝＝，

∴P(B)＝P(B₁)+P(B₂)+P(B₃)+P(B₄)

＝+++＝.

16．将某城市分为四个区(右图所示)，现有5种不同颜色，图①②

③④每区只涂一色，且相邻两区必须涂不同的颜色(不相邻两区

所涂颜色不限)，则②区被涂成红色的概率是________．

解析：区域①有C种涂色方法，区域②、③、④的涂色方法依

次有、、种，由分步计数原理知不同涂色方法有＝240种．区域②被涂成红色，则区域③有种，区域④有C种，区域①有种，故P＝＝.

答案：

15．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是________．

解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384+24+24＝432.

答案：432

14．(2010·烟台模拟)若(ax²－)⁹的展开式中常数项为84，则a＝__________，其展开式中二项式系数之和为________．(用数字作答)

解析：二项式(ax²－)⁹的通项公式为·a·x·(－1)^r·＝(－1)^r·a·x，令18－3r＝0可得r＝6，即得常数项为(－1)⁶·a＝84a³＝84，解之得a＝1.其展开式二项式系数和为2⁹＝512.

答案：1　512

13．如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，

曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影

部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形

OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴

影部分的概率是________．

解析：S_矩形OABC＝2π，S_阴影＝＝2，

由几何概型概率公式得P＝＝.

答案：

12．已知函数f(x)＝x³－3x，当x在区间上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　)

A.　 　　　　　B.　　　　　　　　 C.　　　　　　 　D.

解析：函数f(x)＝x³－3x的两个极值点是－1、1，三个零点是

±、0，结合函数图象和函数的单调性可以知道，当x在区

间，[，2]上取值时符合要求，故所求的概率是

＝.

答案：A

11．(2009·安徽高考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　 (　)

A.　 　　　　　　B.　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　　D.

解析：甲从6个点中任意选两个点连成直线总共有种不同的选法，同样，乙也有种不同的选法，所以总共有＝225种选法，其中相互平行但不重合的直线共有6对，甲、乙两人选一对，各选一条有·＝12种选法，所以所求概率就是.

答案：D