4．如图所示，若函数f(x)＝a^x－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝log_a的图象是________．

解析：由已知将点(4,2)代入y＝a^x－1，∴2＝a^4－1，即a＝2>1.

又是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④

3．若函数f(x)＝，则f(log₄3)＝________.

解析：0<log₄3<1，∴f(log₄3)＝4^log₄³＝3.答案：3

2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log₃π，b＝log₂，c＝log₃，则a、b、c的大小关系是________．

解析：a＝log₃π>1，b＝log₂＝log₂3∈(，1)，c＝log₃＝log₃2∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c

1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝________.

解析：由题意f(x)＝log_ax，∴a＝log_aa＝，∴f(x)＝logx.答案：logx

12．已知函数f(x)＝ax²+4x+b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x₁、x₂，方程f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x₁+1)(x₂+1)<7.

解：(1)由f(x)＝x得ax²+3x+b＝0(a<0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β，

∴Δ＝9－4ab>0，α+β＝－，α·β＝.由|α－β|＝1得(α－β)²＝1，

即(α+β)²－4αβ＝－＝1，∴9－4ab＝a²，即a²+4ab＝9(a<0，a、b∈R)．

(2)由(1)得a(a+4b)＝9，∵a、b均为负整数，

∴或或显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有∴

故所求函数解析式为f(x)＝－x²+4x－2.

(3)证明：由已知得x₁+x₂＝－，x₁·x₂＝，又由α<1<β<2得α+β＝－<3，α·β＝<2，∴－<1，∴(x₁+1)(x₂+1)＝x₁·x₂+(x₁+x₂)+1＝－+1<2+4+1＝7，

即(x₁+1)(x₂+1)<7.

11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax²+bx+c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x₁、x₂是函数f(x)的两个零点，则≤|x₁－x₂|<.

证明：(1)∵f(1)＝a+b+c＝－，∴3a+2b+2c＝0.

又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，

∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－.

(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a+2b+c＝a－c，

①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，

∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．

②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．

(3)∵x₁、x₂是函数f(x)的两个零点，则x₁、x₂是方程ax²+bx+c＝0的两个根，∴x₁+x₂＝－，x₁x₂＝＝－－，∴|x₁－x₂|＝＝ ＝ .∵－3<<－，∴≤|x₁－x₂|<.

10．设函数f(x)＝x²+2bx+c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)+1＝0有实根．

(1)证明：－3<c≤－1且b≥0；

(2)若m是方程f(x)+1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．

解：(1)证明：f(1)＝0⇒1+2b+c＝0⇒b＝－.又c<b<1，故c<－<1⇒－3<c<－.方程f(x)+1＝0有实根，即x²+2bx+c+1＝0有实根，故Δ＝4b²－4(c+1)≥0，即(c+1)²－4(c+1)≥0⇒c≥3或c≤－1.又c<b<1，得－3<c≤－1，

由b＝－知b≥0.

(2)f(x)＝x²+2bx+c＝x²－(c+1)x+c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0，

∴c<m<1，∴c－4<m－4<－3<c，∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)>0，

∴f(m－4)的符号为正．

9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x²－3x+4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．

①[3,4]　 ②[2,4]　 ③[2,3]　 ④[1,4]

解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x²－5x+7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．

答案：③

8．设函数f(x)＝x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．

解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|+b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|+c＝0，∴x≥0时，x²+c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x²+c＝0，∴x＝－，有一个实数根．答案：①②③

7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)+x的零点的个数为__________．

解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(－1)＝－，∴－1－b+1＝－，∴b＝.当x>0时，g(x)＝－2+2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x²+x+1+x＝0，∴x²－x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－，所以有两个零点．答案：2