12．如图，已知椭圆C：+＝(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．

(1)是否存在k，使对任意m＞0，总有+＝成立？若存在，求出所有k的值；

(2)若·＝－(m³+4m)，求实数k的取值范围．

[解析]　(1)椭圆C：+＝1，c²＝－＝m²，

c＝m，∴F(m,0)，

直线AB的方程为：y＝k(x－m)．

由，

消去y得

(10k²+6)x²－20k²mx+10k²m²－15m²＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

x₁+x₂＝，x₁x₂＝，

则x_M＝＝，y_M＝k(x_M－m)＝.

若存在k，使+＝总成立，M为线段AB的中点，

∴M为ON的中点，

∴+＝2.

∴+＝(2x_M,2y_M)＝(，)，

即N点的坐标为(，)．

由N点在椭圆上，

则×()²+×()²＝，

即5k⁴－2k²－3＝0，∴k²＝1或k²＝－(舍去)．

故存在k＝±1，使对任意m＞0，总有+＝成立．

(2)·＝x₁x₂+y₁y₂

＝x₁x₂+k²(x₁－m)(x₂－m)

＝(1+k²)x₁x₂－k²m(x₁+x₂)+k²m²

＝(1+k²)·－k²m·+k²m²

＝.

由

＝－(m³+4m)，

得＝－(m+)≤－2.

即k²－15≤－20k²－12，k²≤，

∴－≤k≤且k≠0.

11．(2010年南阳模拟)已知抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)求·的值；

(2)设＝λ，当三角形OAB的面积S∈(2，]时，求λ的取值范围．

[解析]　(1)根据抛物线方程y²＝4x，可得F(1,0)．

设直线l的方程为x＝my+1，将其与C的方程联立，消去x得y²－4my－4＝0，

设A，B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

则y₁y₂＝－4.

∵y＝4x₁，y＝4x₂，∴x₁x₂＝yy＝1，

故·＝x₁x₂+y₁y₂＝－4+1＝－3.

(2)∵A＝λ，

∴(1－x₁，－y₁)＝λ(x₂－1，y₂)，

即

又y＝4x₁ ③

y＝4x₂ ④

由②③④消去y₁，y₂，得x₁＝λ²x₂，

将其代入①，注意到λ>0，解得x₂＝.

从而三角形OAB的面积

S＝|OF||y₁－y₂|＝+，

∵+≥2恒成立，且+≠2，即λ≠1，

∴只要解+≤即可．

所以λ的取值范围为≤λ≤且λ≠1.

10．设直线l过双曲线x²－＝1的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若·＝0，求|AB|的值．

[解析]　设直线AB过右焦点F(2,0)，其斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)．

代入双曲线方程，得3x²－k²(x－2)²＝3，

即(3－k²)x²+4k²x－4k²－3＝0.

设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁+x₂＝，x₁x₂＝，

从而y₁y₂＝k²(x₁－2)(x₂－2)

＝k²[x₁x₂－2(x₁+x₂)+4]

＝k²·(－+4)＝－.

∵·＝0，∴x₁x₂+y₁y₂＝0，

∴－＝0，解得k²＝，

此时Δ＝16k⁴+4(3－k²)(4k²+3)>0，

又当AB⊥x轴时，点A(2,3)，B(2，－3)不满足条件，故由焦点弦长公式，得

|AB|＝·＝4.

∴|AB|＝4.

9．(2010年河南调考)椭圆+＝1(a＞b＞0)的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，则的最大值为________．

[解析]　＝＝＝－e²+e＝－²+≤，故填.

[答案]　

8．P是椭圆+＝1上的任意一点，F₁、F₂是它的两个焦点，O为坐标原点，＝+，则动点Q的轨迹方程是________．

[解析]　由＝+，

又+＝2＝－2.

设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝.

即P点坐标，

又P在椭圆上，则有+＝1

⇒+＝1，

即Q的轨迹方程为+＝1.

[答案]　+＝1

7．给定四条曲线①x²+y²＝，②+＝1，③x²+＝1，④+y²＝1，其中与直线x+y－＝0仅有一个交点的曲线是________．

[解析]　分别将各曲线方程与直线方程联立成方程组，消元后，依次考查判别式，易得答案为①③④.

[答案]　①③④

6．(2010年河南安阳)若双曲线－＝1的右支上存在一点P，使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是(　)

A．(1，+1]　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1，+1]

C．(1，+1)　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．(1，+1)

[解析]　设P点的横坐标为x(x≥a)，根据双曲线的定义得x+＝e＝ex－a，+a＝x(e－1)≥a(e－1)，+1≥e－1，求得双曲线的离心率的取值范围是(1，+1]，故选B.

[答案]　B

5．(2010年河南驻马店二模)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||+·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　)

A．y²＝8x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y²＝－8x

C．y²＝4x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y²＝－4x

[解析]　将点M，N动点P(x，y)代入化简即得．

[答案]　B

4．(2010年河南周口一模)已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点，且过P点作椭圆，当P点在半圆上移动时，椭圆的离心率有(　)

A．最小值　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．最大值

C．最小值　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．最大值

[解析]　|PA|＝r₁，|PB|＝r₂，r₁+r₂＝2a≥2，r₁r₂≤a²，r+r＝4c²，(r₁+r₂)²－2r₁r₂＝4c².

∴4a²－4c²＝2r₁r₂，r₁r₂＝2a²－2c²≤a²，

∴a²≤2c²，∴e²≥，∴e≥.

[答案]　A

3．(2010年山东济南一模)已知抛物线y²＝2px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.+1

C.+1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由题意知在第一象限的交点为

A，且＝c，代入抛物线方程得

＝p²＝4c²，∴b²＝2ac.

∴c²－a²－2ac＝0，

∴e²－2e－1＝0，∴e＝+1.

[答案]　B