10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁、F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

[解析]　设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，

F₁(－c,0)，F₂(c,0)，P(x₀，y₀)．

在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：

|F₁F₂|²＝|PF₁|²+|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos

＝(|PF₁|－|PF₂|)²+|PF₁|·|PF₂|.

即4c²＝4a²+|PF₁|·|PF₂|.

又∵S△PF₁F₂＝2.

∴|PF₁|·|PF₂|·sin＝2.

∴|PF₁|·|PF₂|＝8.∴4c²＝4a²+8，即b²＝2.

又∵e＝＝2，∴a²＝.

∴双曲线的方程为：－＝1.

9．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．

[解析]　令x＝－c，得y²＝，

∴|MN|＝，

由题意得a+c＝，

即a²+ac＝c²－a²，∴²－－2＝0，

∴＝2.

[答案]　2

8．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y+20＝0上，两焦点关于原点对称，且＝，则双曲线的方程为________．

[解析]　直线5x－2y+20＝0与两坐标轴交点为(－4,0)和(0,10)，若(－4,0)为焦点，则c＝4，而＝，

∴a＝.∴b²＝16－＝，

∴双曲线方程为：－＝1，

若(0,10)为焦点，则c＝10，

∴a＝6，∴b²＝100－36＝64，

∴双曲线方程为－＝1.

[答案]　－＝1或－＝1

7．(2008年安徽高考)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.

[解析]　∵n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴＝，

∴n＝4.

[答案]　4

6．(2010年湖南模拟)焦点为(0,6)，且与双曲线－y²＝1有相同的渐近线的双曲线方程是(　)

(A)－＝1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)－＝1

(C)－＝1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)－＝1

[解析]　设双曲线方程为－y²＝λ(λ＜0)，

即－＝1(λ＜0)，

∴a²＝－λ，b²＝－2λ，∴c²＝－3λ.

又焦点为(0,6)．∴c＝6，

∴－3λ＝36，λ＝－12，

∴双曲线方程为－y²＝－12，即－＝1.

[答案]　B

5．已知二次曲线+＝1，则当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是(　)

(A)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]　∵m∈[－2，－1]，

∴二次曲线为双曲线，

其中a²＝4，b²＝－m，

∴c²＝a²+b²＝4－m，

∴e＝＝.

又4－m∈[5,6]，

∴e∈[，]．

[答案]　C

4．(2008年四川高考)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|＝|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于(　)

(A)24　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)36

(C)48　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)96

[解析]　方法一：由题意知a＝3，b＝4，c＝5.设P(x₀，y₀)，由双曲线的定义得

|PF₂|＝x₀－3＝x₀－3.

∵|PF₂|＝|F₁F₂|＝10，∴x₀－3＝10，x₀＝.

代入双曲线方程得

|y₀|＝＝，

∴S△PF₁F₂＝|F₁F₂|·|y₀|＝×10×＝48.

方法二：由双曲线的定义得|PF₁|－|PF₂|＝6，

∴|PF₁|＝|PF₂|+6＝|F₁F₂|+6＝10+6＝16，

设等腰△PF₁F₂底边PF₁上的高为F₂D，

则|F₂D|＝＝＝6，

∴S△PF₁F₂＝|PF₁|×|F₂D|＝×16×6＝48.

[答案]　C

3．(2010年海南模拟)双曲线x²+ky²＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为(　)

(A)4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)－4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)－

[解析]　∵方程x²+ky²＝1表示双曲线，∴k＜0，

∵双曲线x²+ky²＝1的渐近线方程为x±y＝0，

又已知一条渐近线的斜率是2.

∴＝，∴k＝－.

[答案]　D

2．若k∈R则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　若方程表示双曲线，则(k－3)(k+3)＞0，

∴k＜－3或k＞3，

故k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．

[答案]　A

1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　)

A.－＝1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－＝1

C.－＝1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－＝1

[解析]　由已知得，

∴a＝2，c＝4，∴b²＝16－4＝12，

∴双曲线方程为－＝1.

[答案]　A