8．在抛物线y＝4x²上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，该点的坐标是________．

[解析]　设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x+b，

当直线y＝4x+b与y＝4x²相切时，

切点到直线y＝4x－5的距离最短．

由得4x²－4x－b＝0①

Δ＝16+16b＝0，

∴b＝－1，代入①式得x＝，

y＝4ײ＝1，故切点为.

[答案]　

7．已知F为抛物线C：y²＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．

[解析]　∵y²＝4x的焦点坐标为F(1,0)，

准线方程为x＝－1，

∴过F且斜率为1的直线方程为y＝x－1，

将其代入y²＝4x得x²－6x+1＝0，

解得x＝＝3±2，

∵|FA|＞|FB|，∴x_A＝3+2，x_B＝3－2，

又|FA|＝x_A+1，|FB|＝x_B+1，

∴＝＝3+2.

[答案]　3+2

6．过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是(　)

A．|AB|＞|CD|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．|AB|＝|CD|

C．|AB|＜|CD|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．|AB|≠|CD|

[解析]　设过焦点F的直线方程为y＝k，交抛物线于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点，由，

得k²x²－p(k²+2)x+p²＝0，

∴x₁+x₂＝.

∴|MN|＝x₁+x₂+p＝+p＝

＝＝

＝(θ为直线MN的倾斜角)，

∴|AB|＝＝8p，|CD|＝＝p，

∴|AB|＞|CD|.

[答案]　A

5．已知直线y＝kx－k和抛物线y²＝2px(p＞0)，则(　)

A．直线和抛物线有一个公共点

B．直线和抛物线有两个公共点

C．直线和抛物线有一个或两个公共点

D．直线和抛物线可能没有公共点

[解析]　因直线y＝kx－k过定点(1,0)，

∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，

当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．

[答案]　C

4．(2008年辽宁高考)已知点P是抛物线y²＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．3

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　如图：设A(0,2)，抛物线焦点为F，

根据抛物线的定义，P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|+|PF|，显然和最小时，应有A、P、F共线，且P在A、F之间，

∴所求最小值为|AF|＝＝＝.

[答案]　A

3．已知抛物线y²＝2px(p＞0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则的值一定等于(　)

A．4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－4

C．p²　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－p²

[解析]　设AB的方程为x＝my+.

联立得y²－2pmy－p²＝0.

∴y₁y₂＝－p²，∴x₁x₂＝yy＝.

∴＝＝－4.

[答案]　B

2．抛物线y²＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　)

A．y²＝8x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y²＝12x

C．y²＝16x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y²＝20x

[解析]　由题意知，3+6a＝5，∴a＝，

∴抛物线方程为y²＝8x.

[答案]　A

1．抛物线y＝ax²的准线方程是y＝1，则a的值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－

C．4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－4

[解析]　抛物线方程为x²＝y，

其准线方程为y＝－，

∴－＝1，∴a＝－.

[答案]　B

12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx+m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知得a＝，c＝2.

又a²+b²＝c²，得b²＝1.

故双曲线C的方程为－y²＝1.

(2)联立整理得

(1－3k²)x²－6kmx－3m²－3＝0.

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴，

可得m²＞3k²－1且k²≠①

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为B(x₀，y₀)．

则x₁+x₂＝，x₀＝＝，

y₀＝kx₀+m＝.

由题意，AB⊥MN，

∵k_AB＝＝－(k≠0，m≠0)．

整理得3k²＝4m+1②

将②代入①，得m²－4m＞0，∴m＜0或m＞4.

又3k²＝4m+1＞0(k≠0)，即m＞－.

∴m的取值范围是∪(4，+∞)．

11．设双曲线C：－y²＝1(a＞0)与直线l：x+y＝1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．

[解析]　(1)将y＝1－x代入双曲线－y²＝1中得(1－a²)x²+2a²x－2a²＝0①

所以，

解得0＜a＜，且a≠1，又双曲线的离心率

e＝＝，0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(0,1)．

∵＝，∴(x₁，y₁－1)＝(x₂，y₂－1)．

由此得x₁＝x₂由于x₁，x₂都是方程①的两根，

且1－a²≠0，∴x₂＝，x＝－.

消去x₂，得－＝，∴a²＝，∴a＝±.

由a＞0，得a＝.