5．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是(　)

A．相等　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．互补

C．相等或互补　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．无法确定

[解析]　如图，α-l-β为直二面角，γ-a-δ为另一个二面角，使γ⊥α，δ⊥β，a⊥β.

把γ平面固定不动，使δ平面绕a转动时，满足条件，但γ-a-δ的度数不能确定，∴应选D.

[答案]　D

4．设直线l与直二面角的两个面α、β所成的角分别为θ₁和θ₂，则(　)

A．0<θ₁+θ₂<　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0≤θ₁+θ₂≤

C．0<θ₁+θ₂≤　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．θ₁+θ₂>

[解析]　如图所示，∠ABC＝θ₁，∠BAD＝θ₂<∠BAC，

∴θ₁+θ₂<.

当D、C重合时，θ₁+θ₂＝，

当l为α、β的交线时，θ₁+θ₂＝0，

∴0≤θ₁+θ₂≤.

[答案]　B

3．(2007年全国)如图所示，正四棱柱，ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　如图所示，连结CD₁、AC，则CD₁∥A₁B，

则A₁B与AD₁所成角即为∠CD₁A或其补角．

设AB＝a，则AA₁＝2a，

所以有AD₁＝CD₁＝a，

AC＝a，

在△AD₁C中，由余弦定理得

cos∠AD₁C＝

＝＝，

所以异面直线A₁B和AD₁所成角的余弦值为.

[答案]　D

2．(2008年全国高考题)已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由题意知三棱锥A₁-ABC为正四面体，设棱长为a，则AB₁＝a，棱柱的高A₁O＝＝＝a(即点B₁到底面ABC的距离)，故AB₁与底面ABC所成角的正弦值为＝.

另解：设，，为空间向量的一组基底，，，的两两间的夹角为60°，长度均为a，平面ABC的法向量为＝－－，＝+，·＝a²，||＝a，||＝a.

则AB₁与底面ABC所成角的正弦值为＝.

[答案]　B

1．(2008年四川高考题)设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l、α都成30°角的直线有且只有(　)

A．1条　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2条

C．3条　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4条

[解析]　所求直线在平面α内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B.

[答案]　B

12．设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，并且||＝，动点P满足＝+，记动点P的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)若点D的坐标为(0,16)，M、N是曲线C上的两个动点，且＝λ，求实数λ的取值范围．

[解析]　(1)设P(x，y)，∵A，B分别为直线y＝x和y＝－x上的点，故可设A，B

∵＝+，

∴　∴

又||＝，

∴(x₁－x₂)²+(x₁+x₂)²＝20，∴y²+x²＝20，

即曲线C的方程为+＝1.

(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由＝λ，可得

(x，y－16)＝λ(s，t－16)，故x＝λs，y＝16+λ(t－16)．

∵M、N在曲线C上，

∴，

消去s得+＝1.

由题意知λ≠0且λ≠1，解得t＝.

又|t|≤4，∴||≤4.解得≤λ≤(λ≠1)．

故实数λ的取值范围是≤λ≤(λ≠1)．

11．(2010年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²＝4上，C在直线l：y＝x+2上，且AB∥l.

(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

[解析]　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.

设A，B两点坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

由，得x＝±1.

所以|AB|＝|x₁－x₂|＝2.

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以h＝，S_△ABC＝|AB|·h＝2.

(2)设AB所在直线的方程为y＝x+m，

由，得4x²+6mx+3m²－4＝0.

因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m²+64＞0.

设A，B两点坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

则x₁+x₂＝－，x₁x₂＝，

所以|AB|＝|x₁－x₂|＝.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.

所以|AC|²＝|AB|²+|BC|²

＝－m²－2m+10＝－(m+1)²+11.

所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12+64＞0)，

此时AB所在直线的方程为y＝x－1.

10．(2010年上海春招)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．

[解析]　设探测器运行轨道方程为

+＝1(a＞b＞0)，c＝.

∵a+c＝800+34，a－c＝8+34，∴a＝438，c＝396.

于是b²＝a²－c²＝35 028，

∴探测器运行轨道方程为+＝1.

设变轨时，探测器位于P(x₀，y₀)，

则x+y＝ab≈81 975.1，+＝1，

解得x₀≈239.7，y₀≈156.7(符合题意)，

∴探测器在变轨时与火星表面的距离为

－R≈187.3.

答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．

9．设椭圆+＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax²+bx－c＝0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P(x₁，x₂)与圆x²+y²＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)

[解析]　由已知得＝，∴a＝2c，

∴b²＝a²－c²＝3c²，∴b＝c，

∴方程即为2cx²+cx－c＝0，

2x²+x－1＝0，

∴x₁+x₂＝－，x₁x₂＝－，

x+x＝(x₁+x₂)²－2x₁x₂＝+1＝＜2.

∴点P(x₁，x₂)在圆x²+y²＝2内．

[答案]　在圆内

8．椭圆+＝1(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e＝________.

[解析]　如图，设其中一个切点为P，连接OP，则OP⊥AD.

在Rt△AOD中，

OP=，

∴c=，∴c²=，

∴c²=，∴c⁴-3a²c²+a⁴=0，

∴e⁴-3e²+1=0，∴e²=.

∵0＜e＜1，∴e²=，

∴e====.

[答案]