1．若对任意一点O，有＝x+y，则x+y＝1是P，A，B三点共线的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　当x+y＝1时，x＝1－y.

∴＝x+y＝(1－y)+y＝+y.

∴＝y，

∴A，P，B三点共线．

当A，P，B三点共线时，＝λ＝λ(－)．

∴－＝λ－λ，

即＝λ+(1－λ).

令x＝λ，y＝1－λ，则x+y＝1.

[答案]　C

12．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.

(1)证明：M是侧棱SC的中点；

(2)求二面角S-AM-B的大小．

[解析]　方法一：(1)证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD.连结AE，则四边形ABME为直角梯形．

作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形．

设ME＝x，则SE＝x，AE＝＝，

MF＝AE＝，FB＝2－x.

由MF＝FB·tan 60°，得＝(2－x)，解得x＝1.

即ME＝1，从而ME＝DC，

所以M为侧棱SC的中点．

(2)MB＝＝2，又∠ABM＝60°，AB＝2，所以△ABM为等边三角形．

又由(1)知M为SC的中点，

SM＝，SA＝，AM＝2，故SA²＝SM²+AM²，∠SMA＝90°.

取AM的中点G，连结BG.取SA的中点H，连结GH，则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角．

连接BH.在△BGH中，

BG＝AM＝，GH＝SM＝，BH＝＝，

所以cos∠BGH＝＝－.

故二面角S-AM-B的大小为arccos(－)．

方法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DS为x、y、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设A(，0,0)，则B(，2,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．

(1)证明：设＝λ(λ＞0)，则

M，＝.

又＝(0,2,0)，〈，〉＝60°，

故·＝||·||cos 60°，

即＝

解得λ＝1，即＝.

所以M为侧棱SC的中点．

(2)由M(0,1,1)，A(，0,0)，得AM的中点G(，，)．

又＝(，，－)，＝(0，－1,1)，

＝(－，1,1)．

·＝0，·＝0，

所以⊥，⊥.

因此〈，〉等于二面角S-AM-B的平面角．

cos〈，〉＝＝－.

所以二面角S-AM-B的大小为arccos(－)．

11．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．

(1)证明EF∥平面SAD；

(2)设SD＝2DC，求二面角A-EF-D的大小．

[解析]　(1)证明：如图所示，作FG∥DC交SD于点G，连结AG，则G为SD的中点，FG綊CD，又CD綊AB，

所以FG綊AE.

故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.

又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD.

(2)不妨设DC＝2，则SD＝4，DG＝2，△ADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连结DH，则DH＝，DH⊥AG.

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH.

而AB∩AG＝A，所以DH⊥平面AEF.

取EF中点M，连结MH，则HM＝1，HM⊥EF.

连结DM，则DM⊥EF.

故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角．

10．(2008年湖北高考)如图，在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁.

(1)求证：AB⊥BC；

(2)若AA₁＝AC＝a，直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，

求证：θ+φ＝.

[证明]　(1)如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，得AD⊥平面A₁BC.

又BC⊂平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，

则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC，

又AA₁∩AD＝A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，

又AB⊂侧面A₁ABB₁

故AB⊥BC.

(2)连结CD，则由(1)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，

∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的平面角，

即∠ACD＝θ，∠ABA₁＝φ，

于是在Rt△ADC中，sin θ＝＝，

在Rt△ADA₁中，sin∠AA₁D＝＝，

∴sin θ＝sin∠AA₁D，由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D，

又由Rt△A₁AB知，∠AA₁D+φ＝，

故θ+φ＝.

9．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

[解析]　如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上，如取A、B、C、D四个顶点，可得①矩形；取D、A、C、D₁四个顶点，可得③中所述几何体；取A、C、D₁、B₁四个顶点可得④中所述几何体；取D、D₁、A、B四个顶点可得⑤中所述几何体．

[答案]　①③④⑤

8．(2008年天津高考题)一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．

[解析]　由R³＝4π得R＝，所以a＝2，表面积为6a²＝24.

[答案]　24

7．(2008年四川高考题)已知正四棱柱的一条对角线长为，且与底面所成的角的余弦值为，则该正四棱柱的体积是________．

[解析]　由题意得

[答案]　2

6．下列命题中，真命题的个数是(　)

①两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥

②两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥

③侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥

④侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥

A．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0

[解析]　对照定义，构造反例．

如图所示，S-ABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB，SC上分别取异于B，C的点B₁，C₁，连接AB₁，AC₁，则三棱锥S-AB₁C₁均满足命题①②的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题①②为假命题．命题③中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心，但外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题③也是假命题．在命题④中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题④也是假命题．

[答案]　D

5．(2010年江西师大附中)如图所示，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高是(　)

A.a　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a

C.a　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a

[解析]　由题意得cos 15°＝，b＝，

所折成的正三棱锥的侧棱长是a、底面边长是b，因此这个三棱锥的高是

＝＝a.

故选D.

[答案]　D

4．正四棱锥的侧棱与底面成45°的角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　过P作PO⊥面ABCD于O，

∵是正四棱锥，

∴O在AC上且AO＝CO，

∴∠PAO为侧棱与底面所成的角为45°，

过O作OE∥BC交AB于E，连结PE，

∵AO＝CO，∴AE＝BE，

又∵AP＝BP，

∴PE⊥AB，OE⊥AB，

∴∠PEO为侧面APB与底面ABCD所成的二面角的平面角．

在Rt△AOP中，PO＝AO＝BC，

EO＝BC，

∴PE＝BC，

∴sin∠PEO＝＝.

[答案]　D