7．过长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC₁A₁平行的直线有________条．

[解析]　如图，与AC平行的直线有4条，与AA₁平行的直线有4条，连结MN，则MN∥面ACC₁A₁，这样的直线也有4条(包括MN)，共12条．

[答案]　12

6．(2010年平顶山模拟)如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　)

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′－FED的体积有最大值．

A．①　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．①②

C．①②③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．②③

[解析]　①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，

∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.

③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′－FDE的体积达到最大．

[答案]　C

5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(　)

A．异面　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．相交

C．平行　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不确定

[解析]　以四棱柱为模型，一条侧棱与和它平行的两个侧面 的交线平行，可得出结论．

[答案]　C

4．(2010年上海模拟)已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n距离相等的点的集合可能是①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是(　)

A．①②③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．①④

C．①②④　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．②④

[解析]　当m，n都在α内时，是一条直线．

当m，n分别在α的两侧都平行于α且到α的距离相等时，是一个平面．

当m，n都平行于α，但到α的距离不相等时，是空集，任何时候都不可能只有一个点满足条件．

[答案]　C

3．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C(　)

A．不共面

B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动都共面

[解析]　设平面α、β间的距离为d，则不论A、B如何移动，点C到α、β的距离都分别为.

∴动点C都在平面α、β之间且与α、β的距离都相等的一个平面上．

[答案]　D

2．(2008年安徽高考题)已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n　　　　　　　　　　　　 B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥β，n∥β，则α∥β　　　　　　　　　　　　　 D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

[解析]　若m∥α，n∥α，则m，n相交、平行、异面均可，A错；若α⊥γ，β⊥γ，则α、β可平行，也可相交，B错误；若m∥β，n∥β，m，n的位置关系决定α，β的关系，C也错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n(线面垂直的性质定理)，故选D.

[答案]　D

1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为(　)

A．3　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0

[解析]　①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.

②中l与m也可能异面．

③中⇒l∥m，

同理l∥n，则m∥n，正确．

[答案]　C

12．(2008年北京高考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.

(1)求证：PC⊥AB；

(2)求二面角B－AP－C的大小；

(3)求点C到平面APB的距离．

[解析]　(1)证明：如图(1)所示，取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP＝BP，∴PD⊥AB.

∵AC＝BC，∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D，

∴AB⊥平面PCD.

∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB.

(2)∵AC＝BC，AP＝BP，PC＝PC，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

且AC∩PC＝C，

∴BC⊥平面PAC.

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

如图(2)所示，取AP中点E，连结BE，CE.

(2)

∵AB＝BP，∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，

BE＝AB＝，

∴sin∠BEC＝＝.

∴二面角B-AP-C的大小为arcsin .

(3)由(1)知AB⊥平面PCD，

∴平面APB⊥平面PCD.

如图(3)所示，过C作CH⊥PD，垂足为H.

(3)

∵平面APB∩平面PCD＝PD，

∴CH⊥平面APB.

∴CH的长即为点C到平面APB的距离．

由(1)知PC⊥AB，又PC⊥AC，

且AB∩AC＝A，∴PC⊥平面ABC.

∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD.

在Rt△PCD中，CD＝AB＝，PD＝PB＝，

∴PC＝＝2.∴CH＝＝.

∴点C到平面APB的距离为.

11．如图，已知ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，PA⊥平面ABCD，PA＝2c，Q是PA的中点，连结QB、QD，BD.求：

(1)Q到BD的距离；

(2)P到平面BQD的距离．

[解析]　(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连接QE，

∵QA⊥面ABCD，由三垂线定理，得QE⊥BD，

∴QE的长为Q到BD的距离．

在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，

∴AE＝.

在Rt△QAE中，QA＝PA＝c，

∴QE＝＝.

∴Q到BD的距离为.

(2)∵平面BQD经过PA的中点Q，

∴P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离．

在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足．

∵BD⊥AE，BD⊥QE，∴BD⊥面AQE.

∴BD⊥AH，∴AH⊥面BQE，

即AH为A到面BQE的距离．

在Rt△AQE中，∵AQ＝c，AE＝，

∴AH＝.

∴P到面BQD的距离为.

10．如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A₁D，DC，A₁C.

(1)求证：BC₁∥面A₁DC；

(2)求BC₁到面A₁DC的距离．

[解析]　(1)证明：如图所示，连结AC₁交A₁C于E，连结DE，

则DE∥BC₁，而DE⊂平面A₁DC，

∴BC₁∥平面A₁DC.

(2)∵BC₁∥平面A₁DC，

∴BC₁上任一点到平面A₁DC的距离等于BC₁到平面A₁DC的距离．

∴求C₁到平面A₁DC的距离即可．

∵平面A₁DC过线段AC₁中点，

∴A到平面A₁DC的距离等于C₁到平面A₁DC的距离．

由题意知CD⊥AB，CD⊥AA₁，

∴CD⊥面ABB₁A₁.

过A作平面A₁DC的垂线，垂足H在A₁D上．

在Rt△A₁AD中，A₁A·AD＝A₁D·AH，

∴AH＝＝＝a，

即BC₁到平面A₁DC的距离为a.