15. 解: (1)，

，

又

(2)令

① 当,所以的前n项和　

② 当,

由得数列的前n项和

为。

由①②得数列的前n项和为。

14. 解：逐步计算，可得,这说明数列{a_n}是周期数列，而, 所以

13. 解：选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象设粒子到达第n个正方形的对角点所用的总时间为a_n,则有a_n­+1=a_n+(n+1)+1+n=a_n+2(n+1),∴a₁=2，a₂=a₁+4，a₃=a₂+6，a₄=a₃+8，…………a_n=a_n─1+2n，以上各式相加可得：a_n=n(n+1),比较a_n与1999列式：n(n+1)=1999,当n=44时，a_n=1980,当n=45时，a_n=2070>1999,因此粒子走到第44个对角点(44,44)后，在向左走19秒(经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左)，即(25,44)

12. 解：y=(n²+n)x²-(2n+1)x+1，令y=0．则方程(n²+n)x²-(2n+1)x+1=0的两根x₁, x₂，

则|A_nB_n|=|x₁-x₂|=，

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|₂₀₀₃B₂₀₀₃|=．

11. 解：由韦达定理知，各二次方程的两根之和都为2，结合等差数列的性质，首先有a₁+a₄=a₂+a₃，即a₁与a₄、a₂与a₃分别是两二次方程对应的2个根，其次由a₁=，得a₄=，从而a₂=, a₃=，故m与n分别为与，|m-n|=．

10. 解：

　　 。

9. 解：，

∴，

∴，∴，

∴。

8. 解：据题意，有，故前7项为正数。

7. 解：，

。

，将代入成立，。

6. 解：易知，且。当时，，∴在时>0，故选B。