8．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N^*)个图形中共有________个顶点．

[解析]　当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，

n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，

n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，

n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，

故第n个图形共有顶点(n+2)(n+3)个，

∴第n－2个图形共有顶点n(n+1)个．

[答案]　n(n+1)

7．若f(n)＝1²+2²+3²+…+(2n)²，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是________．

[解析]　∵f(k)＝1²+2²+…+(2k)²，

∴f(k+1)＝1²+2²+…+(2k)²+(2k+1)²+(2k+2)²，

∴f(k+1)＝f(k)+(2k+1)²+(2k+2)².

[答案]　f(k+1)＝f(k)+(2k+1)²+(2k+2)²

6．在数列{a_n}中，a₁＝，且S_n＝n(2n－1)a_n，通过求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的表达式为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由a₁＝，S_n＝n(2n－1)a_n，

得S₂＝2(2×2－1)a₂，即a₁+a₂＝6a₂，

∴a₂＝＝，S₃＝3(2×3－1)a₃，

即++a₃＝15a₃.

∴a₃＝＝，a₄＝.故选C.

[答案]　C

5．已知1+2×3+3×3²+4×3³+…+n×3^n－1＝3ⁿ(na－b)+c对一切n∈N^*都成立，则a、b、c的值为(　)

A．a＝，b＝c＝　 　　　　　　　　　　　　 B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝　 　　　　　　　　　　　　 D．不存在这样的a、b、c

[解析]　∵等式对一切n∈N^*均成立，

∴n＝1,2,3时等式成立，即

，

整理得

解得a＝，b＝c＝.

[答案]　A

4．用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n－1)＝n²(n∈N^*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k+1时应得到(　)

A．1+3+5+…+(2k+1)＝k²

B．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+1)²

C．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+2)²

D．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+3)²

[解析]　∵n＝k+1时，

等式左边＝1+3+5+…+(2k－1)+(2k+1)

＝k²+(2k+1)＝(k+1)².故选B.

[答案]　B

3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N^*)时命题成立，那么可推得当n＝k+1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　)

A．当n＝6时，该命题不成立

B．当n＝6时，该命题成立

C．当n＝4时，该命题不成立

D．当n＝4时，该命题成立

[解析]　因为当n＝k时，命题成立可推出n＝k+1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也一定不成立．

[答案]　C

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”的第二步是(　)

A．假使n＝2k+1时正确，再推n＝2k+3正确(k∈N^*)

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k+1正确(k∈N^*)

C．假使n＝k时正确，再推n＝k+1正确(k∈N^*)

D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k+2时正确(k∈N^*)

[解析]　因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k+1个正奇数，即n＝2k+1正确．

[答案]　B

1．对于不等式＜n+1(n∈N^*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，＜1+1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N^*)时，不等式成立，即＜k+1，

则当n＝k+1时，＝＜＝＝(k+1)+1

∴当n＝k+1时，不等式成立，则上述证法(　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确

[解析]　在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

[答案]　D

12．已知函数f(x)＝li ，试求：

(1)f(x)的定义域并画出f(x)的图象；

(2)求lif(x)，lif(x)，lif(x)；

(3)f(x)在哪些点处不连续．

[解析]　(1)当|x|<1即－1<x<1时，li ＝0，

当x＝－1时，li 不存在，

当x＝1时，li ＝，

当|x|>1即x>1或x<－1时，

li ＝li ＝1，

∴f(x)＝

∴定义域为(－∞，－1)∪(－1，+∞)，图象如图所示：

(2)lif(x)＝li1＝1，lif(x)＝li0＝0，

lif(x)不存在．

(3)f(x)在x＝－1及x＝1处不连续，

∵f(x)在x＝－1处无意义，x＝1时，lif(x)＝1，

lif(x)＝0，即lif(x)不存在，

∴f(x)在x＝－1及x＝1处不连续．

11．设f(x)＝问a，b为何值时，f(x)在定义区间内连续？

[解析]　li f(x)＝li (x+a)

＝a＝f(0)．

li f(x)＝li (x²+1)＝1，

∴a＝1时，f(x)在x＝0处连续．

li f(x)＝li (x²+1)＝2＝f(1)，

li f(x)＝li ＝b.

∴b＝2时，函数f(x)在x＝1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数，

∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，+∞)内连续．