6．(2010年甘肃模拟)福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，

先甲选后乙选的方法有5×4＝20，

甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，

乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，

∴恰有一个被选中的概率为+＝.

[答案]　C

5．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　含0的三位数有：C·C·A＝144.

不含0的三位数有：A＝504.

所有三位数共有：144+504＝648.

把1-9分为3类．

第一类是除以3余1的有1,4,7.

第二类是除以3余2的有2,5,8.

第三类是能被3整除的有3,6,9.

不含有0且能被3整除的三位数有：

(C·C·C+C+C+C)·A＝180.

含有0且能被3整除的三位数有：

(C·C+C)C·A＝48.

故能被3整除的三位数共有180+48＝228.

设此事件为A，则P(A)＝＝，故不能被3整除的概率为1－P(A)＝，选B.

[答案]　B

4．甲：A₁、A₂是互斥事件；乙：A₁、A₂是对立事件，那么(　)

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

[解析]　由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要但不是充分条件，故选B.

[答案]　B

3．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　方法一：设A＝{至少有2人在车厢内相遇}，A₁＝{恰有2人在车厢内相遇}，A₂＝{3人在同一车厢内相遇}，

则A＝A₁+A₂且A₁、A₂彼此互斥，

∵P(A₁)＝，P(A₂)＝.

∴P(A)＝P(A₁)+P(A₂)＝＝.

方法二：事件A的对立事件为3人分别在3节车厢，则P()＝，

∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.

[答案]　B

2．盒子中有一角、五角、一元硬币各2枚，有放回地摸出2枚硬币(每次摸出1枚)，则两枚硬币的面值相同的概率是(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　总的基本事件为6×6＝36个，取值相同的事件数为CCC个，故其概率为.

[答案]　A

1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　)

A．60%　　　　　　　　　　 B．30%

C．10%　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．50%

[解析]　甲不输， 包含两个事件：甲获胜，甲乙和棋．

∴甲乙和棋概率P＝90%－40%＝50%.

[答案]　D

12．平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n²－n+2个部分．

[证明]　(1)n＝1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N^*)时，k个圆将平面分成k²－k+2个部分．

当n＝k+1时，

第k+1个圆C_k+1 交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆C_k+1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k²－k+2+2k个部分，即(k+1)²－(k+1)+2个部分．

故n＝k+1时，命题成立．

由(1)，(2)可知，对任意n∈N^*命题成立．

11．数列{a_n}满足a_n＞0，S_n＝(a_n+)，求S₁，S₂，猜想S_n，并用数学归纳法证明．

[解析]　∵a_n＞0，∴S_n＞0，

由S₁＝(a₁+)，变形整理得S＝1，

取正根得S₁＝1.

由S₂＝(a₂+)及a₂＝S₂－S₁＝S₂－1得

S₂＝(S₂－1+)，

变形整理得S＝2，取正根得S₂＝.

同理可求得S₃＝.

由此猜想S_n＝.

用数学归纳法证明如下：

(1)当n＝1时，上面已求出S₁＝1，结论成立．

(2)假设当n＝k时，结论成立，即S_k＝.

那么，当n＝k+1时，

S_k+1＝(a_k+1+)

＝(S_k+1－S_k+)

＝(S_k+1－+)

整理得S＝k+1，取正根得S_k+1＝.

故当n＝k+1时，结论成立．

由①、②可知，对一切n∈N^*，S_n＝成立．

10．(2010年平顶山模拟)已知数列{a_n}中，a₁＝，a_n+1＝sin(a_n)(n∈N^*)．

证明：0＜a_n＜a_n+1＜1.

[证明]　①n＝1时，a₁＝，

a₂＝sin(a₁)＝sin＝.

∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．

②假设n＝k时结论成立，

即0＜a_k＜a_k+1＜1，

则0＜a_k＜a_k+1＜.

∴0＜sin(a_k)＜sin(a_k+1)＜1，

即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，

也就是说n＝k+1时，结论也成立．

由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1.

9．下面三个判断中，正确的是(　)

①f(n)＝1+k+k²+…+kⁿ(n∈N^*)，当n＝1时，f(n)＝1；

②f(n)＝1+++…+(n∈N^*)，当n＝1时，

f(n)＝1++；

③f(n)＝++…+(n∈N^*)，则

f(k+1)＝f(k)+++.

[解析]　①中n＝1时，f(n)＝f(1)＝1+k不一定等于1，

故①不正确；

②中n＝1时，f(1)＝1++，故②正确；

③中f(k+1)＝f(k)+++－，

故③不正确．

[答案]　②