9．(2010年黄冈)如图所示，在棱长为1的正方体AC₁中，若E、G分别为C₁D₁、BB₁的中点，点F是正方形ADD₁A₁的中心，则空间四边形BGEF在六个面内射影图形面积的最大值为________．

[解析]　四边形BGEF在上、下底面内的射影面积相等，在下底面上，射影为图(a)中的△BE₁F₁，其面积S△BE₁F₁＝，故上、下底面内的射影面积为，又因为左、右两个面内射影面积相等，右面BCC₁B₁的射影如图(b)且S△C₁BG＝，故左、右射影面积为，同理，因为前、后面上射影相同，且前面的射影如图(c)，且S四边形BGE₃F₃＝，故前后面上的射影面积为.

综上，面积最大值为.

[答案]　

8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．

[解析]　如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD含有4个顶点，与由两顶点A、A₁确定的直线AA₁构成一个“正交线面对”．同理，BB₁、CC₁、DD₁也与平面AC构成“正交线面对”.6个表面，共构成6×4＝24个“正交线面对”．

与对角面AC₁垂直的直线有BD、B₁D₁，构成2个“正交线面对”．

6个对角面，共构成6×2＝12个“正交线面对”．

[答案]　36

7．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值是____．

[解析]　如图，取BD中点O，连结AO、OE，

则AO⊥BD.

∵平面ABD⊥平面CBD，∴AO⊥平面BCD，OE∥BC，

∴∠AEO即为AE、BC所成的角．

设正方形的边长为2，则OE＝1，AO＝，

∴tan∠AEO＝.

[答案]　

6．(2010年浙江模拟)下面四个命题：

①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；

③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；

④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．

其中正确命题的序号是(　)

A．①②　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．②③

C．②④　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．③④

[解析]　a∥b推不出a平行于b所在平面，反之也不成立．∴①不正确．由线面垂直的定义知②正确．a、b不相交时，a、b可能平行，此时a、b共面．③不正确．当α∥β时，α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等．反之，设A、B、C是α内三个不共线的点，当β过△ABC的中位线时，A、B、C三点到β的距离相等，但此时α、β相交，④正确．

[答案]　C

5．在正四棱锥S-ABCD中，点E是BC的中点，动点P在侧面SCD内运动，且总有PE⊥AC，则动点P的轨迹是(　)

A．SC的中点

B．点S与CD中点的连线

C．线段SC

D．SC的中点与CD的中点的连线

[解析]　设SC的中点为M，CD的中点为N，则MN∥SD.

∵AC⊥BD，∴AC⊥MN，又AC⊥NE，则有AC⊥平面MNE，

∴不论P在线段MN的何处总有PE⊥AC.

[答案]　D

4．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　)

A．PA＝PB＞PC

B．PA＝PB＜PC

C．PA＝PB＝PC

D．PA≠PB≠PC

[解析]　∵在Rt△ABC中，M为斜边的中点，

∴MB＝MC＝MA.

又∵PM垂直于△ABC所在平面，

∴PB＝PC＝PA.

[答案]　C

3．如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在(　)

A．直线AB上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．直线BC上

C．直线AC上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．△ABC内部

[解析]∵BA⊥AC，BC₁⊥AC，BA∩BC₁＝B，

∴AC⊥平面ABC₁.

∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC₁，且交线是AB.故平面ABC₁上一点C₁在底面ABC的射影H必在交线AB上．

[答案]　A

2．(2010年柳州模拟)设a、b是不同的直线 ，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是(　)

A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α　　　　　　　　　　　　　 B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α　　　　　　　　　　　　　 D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

[解析]　A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.

[答案]　D

1．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　)

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

[解析]　A中只有当m垂直于α、β的交线时，才有m⊥α；

B中α、β可能相交，如三棱柱的两个侧面；

C中m∥α⇒α内有一直线⇒

⇒α⊥β；

D中，β与γ可能平行，也可能相交(不一定垂直)．

[答案]　C

12．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论；

(2)当a＝4时，求点D到平面PBC的距离；

(3)当a＝4时，求直线PD与平面PBC所成的角．

[解析]　(1)以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

当a＝2时，BD⊥AC，

又PA⊥BD，故BD⊥平面PAC.故a＝2.

(2)当a=4时，D(4,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,2)．

＝(0,2，－2)，＝(4,0,0)，

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，

即(x，y，z)·(0,2，－2)＝2y－2z＝0.

(x，y，z)·(4,0,0)＝4x＝0，得x＝0，y＝z，取y＝1，

故n＝(0,1,1)，则D点到平面PBC的距离d＝＝.

(3)＝(－4,0,2)，cos〈，n〉＝＝＞0，

记〈，n〉＝α，

设直线PD与平面PBC所成的角为θ，则

sin θ＝sin＝cos α＝，

∴直线PD与平面PBC所成的角为arcsin.