5．正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　如图，取PB中点N，

连接CM、CN、MN.

∠CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，

设PA=2，则CM=，MN=1，

CN=，

∴cos∠CMN=.故选C.

[答案]　C

4．如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　)

[解析]　在A图中分别连接PS、QR，

易证PS∥QR，∴P、S、R、Q共面；

在C图中分别连接PQ、RS，

易证PQ∥RS，∴P、Q、R、S共面．

如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D.

[答案]　D

3．(2008年辽宁)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AA₁、CC₁的中点，则在空间中与三条直线A₁D₁、EF、CD都相交的直线(　)

A．不存在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．有且只有两条

C．有且只有三条　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．有无数条

[解析]　先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a、b、c，与直线a、b、c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性．无论两两异面的三条直线a、b、c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，使直线AB、B₁C₁、DD₁分别作为直线a、b、c，在棱DD₁的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面α，平面α与直线B₁C₁交于点P，与直线A₁D₁交于点Q，则PQ在平面α内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a、b、c相交．由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a、b、c相交的直线有无数条．依题意，不难得知题中的直线A₁D₁、EF、CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A₁D₁、EF、CD都相交的直线有无数条，选D.

[答案]　D

2．已知△ABC的两个顶点A，B∈平面α，下面四个点：

①△ABC的内心　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②△ABC的外心

③△ABC的垂心　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④△ABC的重心

其中因其在α内而可判定C在α内的是(　)

A．②③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．②④

C．①③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．①④

[解析]　①△ABC内心O₁在α内，

由内心定义CO₁与AB交点D(与A、B不重合)．

∵AB⊂α，∴D∈α，∴CO₁⊂α；∴C∈α；

②△ABC的外心O₂可以在直线AB上(如Rt△ABC中，角C为直角时)，

故由AB⊂α，O₂∈α，不能确定C在α内；

③△ABC的垂心O₃，可以是线段AB的一个端点，

如Rt△ABC，∠A为直角，

垂心O₃为A点，不能得出C∈α；

④△ABC的重心O₄，设AB中点为E，

则由O₄E⊂α，C∈O₄E，

∴C∈α.∴①④符合题意．

[答案]　D

1．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，

但α与β相交，当α∥β时，a与b一定无公共点，

∴q⇒p，但p⇒/ q.

[答案]　B

12．正三棱锥A-BCD的高为1，底面边长为2，内有一个球O与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．

[解析]　方法一：过侧棱AB与球心O作截面(如图)，在正三棱锥中，BE是底面正三角形的高，O₁是底面正三角形的中心，且AE为斜高．

因为底面边长为2，

∴O₁E＝，且AE＝.

S_棱锥全＝3××2×+×(2)²

＝9+6.

作OF⊥AE于F，设内切球半径为r，则OF＝r，AO＝1－r.

∵Rt△AFO∽Rt△AO₁E，

∴＝.

∴＝，

∴r＝－2，S_球＝8(5－2)π.

方法二：在Rt△AO₁E中，设∠E＝θ，则sin θ＝，

∴cos θ＝，

∴tan θ＝.

连结OE.

在Rt△OO₁E中，OO₁＝O₁E·tan＝－2，

S_球＝8(5－2)π.

连结OA、OB、OC、OD，则

V_A-BCD＝V_O-ABC+V_O-ABD+V_O-ACD+V_O-BCD.

设内切球的半径为r，则

V_A-BCD＝··(2)²＝·r·S_棱锥全，

∴S_棱锥全＝＝9+6，

∴S_棱锥全＝9+6.

11．如图所示，球O的截面BCD把球的直径分成1∶3的两部分，BC是截面圆的直径，D为圆周上的一点，CA是球O的直径，若D分为∶＝1∶2，求AC与BD所成角的余弦值．

[解析]　在BCD内作CE∥BD交圆面于E点，连结BE、AE，

则AC与CE所成角为AC与BD所成角．

∵BC为小圆的直径，∴CE＝BD，

设小圆面圆心为O₁，球半径为R.

∵面BCD将球O的直径分成1∶3，

∴OO₁＝R，BC＝R.

又∵D分成为∶＝1∶2，

∴BD＝R.又∵AB＝2OO₁＝R，

∴在Rt△ACE中，AE＝2R，

CE＝R，cos∠ACE＝，

即AC与BD所成角的余弦值为.

10．球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形．AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到该截面的距离为球半径的一半．

(1)求球的体积；

(2)求A，C两点的球面距离．

[解析]　(1)∵AB²+BC²＝AC²，

∴过A，B，C三点的截面圆的半径为15.

设球的半径为R，根据题意

R²＝²+15²，R²＝15²，

R²＝300，R＝10，

V_球＝πR³＝π(10)³＝4 000π.

(2)由(1)可知∠AOC＝120°，∴A、C两点的球面距离为：

·2πR＝π×10＝π.

9．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为________．

[解析]　如图所示，O为球心，设球面上A、B、C三点任意两点的球面距离都等于大圆周长的，则∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，

∴四面体O-ABC是正四面体．∵经过A、B、C三点的小圆周长为4π，小圆的圆心为O₁，

∴小圆半径O₁A＝2，又O₁A＝AB，∴AB＝＝，

∴球的半径为.

[答案]　

8．(2008年浙江)如图所示，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

[解析]　将四面体补成一个球的内接正方体，由题意可得DC为正方体的体对角线，即球O的直径．则4R²＝3+3+3＝9，可得R²＝，∴R＝，故V＝π·³＝π.

[答案]　π