1．圆(x－1)²+y²＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　)

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　圆心为(1,0)，直线方程为x－3y＝0，

∴圆心到直线的距离d＝＝.

[答案]　A

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足＝(1,0)，＝(－1，t)，＝，⊥，∥.

(1)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

(2)若过点F的直线交曲线C于A、B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

[解析]　(1)设点P的坐标为(x，y)，

由＝，得点M是线段FT的中点，则M，＝.

又＝－＝(－2，t)，＝(－1－x，t－y)，

由⊥，得2x+t＝0.　　　①

由∥，得(－1－x)×0+(t－y)×1＝0，

∴t＝y.　　　 ②

由①②消去t，得y²＝4x即为所求点P的轨迹C的方程．

(2)证明：设直线TA、TF、TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则k＝－.

设直线AB的方程为x＝my+1，

由得y²－4my－4＝0.

∴

∴y+y＝(y₁+y₂)²－2y₁y₂＝16m²+8.

k₁+k₂＝+

＝

＝

＝－t＝2k.

∴k₁，k，k₂成等差数列．

11．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？

[解析]　设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|＝|AB|，由两点间的距离公式得

＝，

两边平方得(x－4)²+(y－2)²＝10，

这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆．

又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合，且B，C不能为⊙A的一直径的两端点．

因为B，C不能重合，所以C点的横坐标x≠3.

又因为点B，C不能为一直径的两端点，

所以≠4，点C的横坐标x≠5，

故另一端点C的轨迹方程是

(x－4)²+(y－2)²＝10，但需去掉点(3,5)，(5，－1)．

故C的轨迹是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．

10．设F(m,0)(m>0)为定点，P，M，N为动点，且P，M分别在y轴和x轴上，若·＝0，+＝0，求点N的轨迹C的方程．

[解析]　设N(x，y)，M(x_0,0)，P(0，y₀)，

则＝(x₀，－y₀)，＝(m，－y₀)，＝(x，y－y₀)，

由·＝0，得mx₀+y＝0，

由+＝0，得(x₀+x，y－2y₀)＝0，

∴将代入mx₀+y＝0，得y²＝4mx即为所求．

9．已知⊙O′的方程是x²+y²－2＝0，⊙O的方程是x²+y²－8x+10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．

[解析]　由已知得⊙O′的圆心为(0,0)，半径为，⊙O的圆心为(4,0)，半径为，

由切线长相等得|PO|²－2＝|PO′|²－6，即|PO′|²－|PO|²＝4，设P(x，y)．

则(x－4)²+y²－(x²+y²)＝4，化简为x＝.

[答案]　x＝

8．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m+n，其中m，n∈R且2m²－n²＝2，则M的轨迹方程为________．

[解析]　设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)+n(－1,1)

∴⇒，代入2m²－n²＝2，

得x²－2y²＝2.

[答案]　x²－2y²＝2

7．曲线C₁的方程为f(x，y)＝0，曲线C₂的方程为φ(x，y)＝0，点M的坐标为(a，b)，命题p：M∉C₁∩C₂；命题q：，则p是q的________条件．

[解析]　由q：M∉C₁且M∉C₂，∴M∉C₁∩C₂，p成立．

由p：可能有M∈C₁但M∉C₂或M∈C₂但M∉C₁，q不一定成立．

∴p是q的必要非充分条件．

[答案]　必要非充分

6．已知曲线C₁：F₁(x，y)＝0，C₂：F₂(x，y)＝0，那么“点M的坐标是方程组的解”是“点M是曲线C₁和C₂的交点”的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

[解析]　点M的坐标是方程组的解，

∴点M在曲线C₁上同时又在曲线C₂上，

∴点M是曲线C₁和C₂的交点，

∴“点M的坐标是方程组的解”是“点M是曲线C₁和C₂的交点”的充分条件．

反之，若点M是曲线C₁和C₂的交点，

∴点M(x₀，y₀)的坐标满足F₁(x₀，y₀)＝0和F₂(x₀，y₀)＝0，

故是方程组的解，

∴“M点的坐标是方程组的解”是“点M是曲线C₁和C₂的交点”的必要条件．

故“点M的坐标是方程组的解”是“点M是曲线C₁和C₂的交点”的充要条件．

[答案]　C

5．方程y＝a|x|和y＝x+a(a＞0)所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是(　)

A．a＞1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0＜a＜1

C．∅　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0＜a＜1或a＞1

[解析]　当x≥0时，解得x＝，只有a＞1时才有解；

当x＜0时，解得x＝－＜0.

故当a＞1时，两曲线才有两个交点．

[答案]　A

4．已知两点M、N，给出下列曲线方程：

①4x+2y－1＝0；②x²+y²＝3；③+y²＝1；④－y²＝1.

曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是(　)

A．①②③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．②④

C．①③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．②③④

[解析]　由题意知P点必在线段MN的垂直平分线上，

∵MN的中点为，斜率为，∴MN的垂直平分线方程是y＝－2x－3，它显然与①中直线平行，∴排除A、C；注意到选项B、D的区别，考虑方程组解得

∴③中曲线上存在符合题设条件下的P点，选D.

[答案]　D