11．(2010年南通模拟)已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x+4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

[解析]　(1)证明：设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey＝0，

由于圆心C(t，)，∴D＝－2t，E＝－，

令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，

令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B(0，)，

∴S_△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||

＝4(定值)．

(2)∵OM＝ON，

∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，

∴k_OC＝，

∴＝，解得t＝2或t＝－2，

而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，

∴D＝－4，E＝－2，

∴圆的方程为x²+y²－4x－2y＝0.

10．已知圆C方程为(x－m)²+(y+m－4)²＝2.

(1)求圆心C的轨迹方程；

(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．

[解析]　(1)设C(x，y)，则，

消去m得y＝4－x，

∴圆心C的轨迹方程为x+y－4＝0.

(2)当|OC|最小时，OC与直线x+y－4＝0垂直，

∴直线OC的方程为x－y＝0，

解，得x＝y＝2.

即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.

圆的方程是(x－2)²+(y－2)²＝2.

其一般方程为x²+y²－4x－4y+6＝0.

9．圆x²+y²－2axsin α－2bycos α－a²cos²α＝0在x轴上截得的弦长为________．

[解析]　在圆的方程中令y＝0得

x²－2axsin α－a²cos²α＝0，

设圆与x轴交于A(x_1,0)，B(x_2,0)两点，

则x₁+x₂＝2asin α，x₁x₂＝－a²cos²α，

∴|AB|＝|x₁－x₂|＝

＝＝2|a|.

[答案]　2|a|

8．定义：若平面点集A中的任一个点(x₀，y₀)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：

①{(x，y)|x²+y²＝1}；

②{(x，y)|x+y+2＞0}；

③{(x，y)||x+y|≤6}；

④{(x，y)|0＜x²+(y－)²＜1}．

其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)

[解析]　集合{(x，y)|＜r}表示以(x₀，y₀)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，

由开集的定义知，集合A应该无边界，

故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．

[答案]　②④

7．已知圆x²+y²+2x－4y+a＝0关于直线y＝2x+b成轴对称，则a－b的取值范围是________．

[解析]　圆的方程变为(x+1)²+(y－2)²＝5－a，

∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.

又圆关于直线y＝2x+b成轴对称，

∴2＝－2+b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.

[答案]　(－∞，1)

6．(2010年西南师大附中模拟)已知点P(x，y)是直线kx+y+4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　)

A．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

[解析]　圆C方程为x²+(y－1)²＝1，

圆心C(0,1)，半径为1，∴|PC|²＝|PA|²+1.

又S_{四边形PACB}＝2××|PA|×1＝|PA|，

∴当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小．

又|PC|最小为C到直线kx+y+4＝0的距离d＝，

∴面积最小为2时，有2²＝()²－1，

解得k＝2.

[答案]　D

5．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x²+y²－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　)

A．10　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．20

C．30　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．40

[解析]　由x²+y²－6x－8y＝0，

得(x－3)²+(y－4)²＝25，

圆心为(3,4)，半径为5.

又点(3,5)在圆内，则最长弦|AC|＝10，

最短的弦

|BD|＝2·＝2＝4，

∴S_{四边形ABCD}＝×10×4＝20.

[答案]　B

4．圆(x+1)²+(y+2)²＝8上与直线x+y+1＝0的距离等于的点共有(　)

A．1个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4个

[解析]　圆心(－1，－2)到直线x+y+1＝0的距离，

d＝＝，圆的半径r＝2，

∴圆上到直线x+y+1＝0的距离等于的点共有3个．

[答案]　C

3．(2010年临沂模拟)已知直线x+y＝a与圆x²+y²＝4交于A、B两点，且|+|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．±2

C．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．±

[解析]　如图，作平行四边形OADB，

则+＝，

－＝，

∴||＝||.

又||＝||，

∴四边形OADB为正方形，

易知||为直线在y轴上的截距的绝对值，∴a＝±2.

[答案]　B

2．设O为坐标原点，C为圆(x－2)²+y²＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.或－

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或－

[解析]　∵·＝0，

∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．

设OM的方程为y＝kx，

由＝，得k＝±，即＝±.

[答案]　D