2．函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法．

1．相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应法则相同(两点必须同时具备)．

　由于函数的零点就是方程的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决．

　例2　已知函数，若是方程的两个根，则实数之间的大小关系是(　)

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

解析：若令，显然函数的两个零点是，函数的两个零点是，而函数的图象是由函数的图象向上平移两个单位得到的，结合图象可知：，故应选(B)．

例3　　　　 已知关于的方程的两根满足，，求实

数的取值范围．

解析：依题意，关于的方程的两根满足，，即函数的两个零点满足，，所以结合二次函数的图象可得：

即解得：．

我们知道，二次函数的图象是连续的，当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，

并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式．

例1　二次函数的部分对应值如下表：

则不等式的解集是　　　．

解析：由表中数据可知函数的两个零点分别为和，这两个零点将其余实数分为三个区间：，在区间)中取特殊值，由于，因此根据二次函数变号零点的性质可得：当时，都有；当时，有；当时，有，故不等式的解集为．

例3　　　　 已知函数，若，问：是否存在正整

数使若存在，求出；若不存在，请说明理由．

解析：

　至此可知的开口向上，与轴的两个交点一个是负数，另一个是1，由图象特征知在上是增函数，若成立，由知，必有，得，即．

　故正整数存在，且只要是大于的正整数都满足．

例2　　　　 一元二次方程的两根都大于5，求实数的范围．

解析：按常规，设方程的两根分别为，则

对于这个不等式组，求解的麻烦程度是可想而知的．

若我们设，则其对称轴方程为，而函数的零点关于对称轴对称，因为欲使两根都大于5，只需限定较小的根大于5即可．

由于开口向上，因此

即得．

例1　若，且，，，则下列结论正确的是(　)

A．

B．

C．，且

D．，且

解析：结合已知，对照函数，我们会发现，．这说明在上函数存在一个零点，由于是二次函数，说明图象与轴必有两个交点，也就是方程有两个不等的实根，因为，即，得，故答案为(B)．

12．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，内角∠B、∠C的角平分线所在直线方程分别是l₁：y+1＝0，l₂：x+y+1＝0，求BC边所在直线的方程．

[解析]　设点A(－1，－4)关于直线l₁：y＝－1的对称点E的坐标为(x_E，y_E)，则x_E＝－1，y_E＝2(－1)－(－4)＝2，

∴E(－1,2)．

又设A(－1，－4)关于直线l₂：x+y+1＝0的对称点F的坐标为(x_F，y_F)，则

⇒

∴F(3,0)，由于E、F在BC上

且K_EF＝＝－

∴BC所在直线方程为y＝－(x－3)

即x+2y－3＝0

∴所求直线为3x+2y－7+(x－y+1)＝0，

即5x－y－3＝0.

11．已知两直线l₁：ax－by+4＝0，l₂：(a－1)x+y+b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．

(1)直线l₁过点(－3，－1)，并且直线l₁与l₂垂直；

(2)直线l₁与直线l₂平行，并且坐标原点到l₁，l₂的距离相等．

[解析]　(1)∵l₁⊥l₂，

∴a(a－1)+(－b)·1＝0，即a²－a－b＝0①

又点(－3，－1)在l₁上，

∴－3a+b+4＝0②

由①②得a＝2，b＝2.

(2)∵l₁∥l₂，∴＝1－a，∴b＝，

故l₁和l₂的方程可分别表示为：

(a－1)x+y+＝0，(a－1)x+y+＝0，

又原点到l₁与l₂的距离相等．

∴4||＝||，∴a＝2或a＝，

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

10．求过直线l₁：3x+2y－7＝0与l₂：x－y+1＝0的交点，且平行于直线5x－y+3＝0的直线方程．

[解析]　方法一：由，

得两直线交点为(1,2)，

又5x－y+3＝0的斜率为5，

∴所求直线为y－2＝5(x－1), 即5x－y－3＝0.

方法二：设所求直线方程为：

3x+2y－7+λ(x－y+1)＝0，

即(λ+3)x+(2－λ)y－7+λ＝0，

因此直线与5x－y+3＝0平行，