例3、某工厂转换机制，在两年内生产的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产

值比第一年相应月的增长率是多少？

错解：设第一年某月的产值为b，则第二年相应月的产值是，依题意所求增长率是，或把第二年相应月的产值写成

剖析：对增长率问题的公式未透彻理解而造成错解的答案，或者是由于审题不慎密而造成题意的理解错误，若某月的产值是b，则此月第x个月后的产值是

，指数x是基数所在时间后所跨过的时间隔数。

正解：不妨设第一年2月份的产值为b，则3月份的产值是b(1+a)，4月份的产值是

，依此类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，即一个时间间隔是一个月，而这里跨了12个月，故第二年2月份的产值是，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长率为：

例2、某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10-25人之间。甲、乙两

旅行社的服务质量相同，且组织到H地的价格都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，问该单位应该怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？

错解：折该单位到H地旅游的人数为x，选择甲旅行社时，所需的费用为元；选择乙旅行社时，所需的费用为元，则有：，即x；

，即

(1)若，解得x＝16；

(2)若，解得；

(3)若，解得

所以，当人数为16人时选择甲旅行社或乙旅行社支付的总费用一样，即可任取一家；当人数在10-15人之间时，选取乙旅行社支付的总费用较少；当人数在17-25人之间时，选择甲旅行社，支付的总费用较少。

剖析：上述解法对10-19人时，解答虽然正确，但对于20-25人时，可将其划分为两组“享受免去两人的旅游费用”的特惠(分组后仍遵循每组10-25人条件，未犯原则，可行)，则选择乙旅行社的支付的总费用较少。

正解：(1)当人数在10-15人或20-25人(分两组同游)时，选择乙旅行社；

(2)当人数在17-19人时，选择甲旅行社；

(3)当人数为16人时，任选甲、乙两旅行社之一都可。

　　 例1　 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度V(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元,(I)把全程运输成本y(元)表示为速度V(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(已知).

分析:首先求出汽车从甲地到乙地所用的时间,然后建立全程运输成本的数学模型.

解:(I)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为,全程运输成本为

故所求函数及其定义域为:.

(II)当时,可以证明函数上是减函数,所以当时,全程运输成本最小值是.

注:1.函数的单调性可用定义证明;2.本题若不给出已知条件也可解,但要讨论.

例2　 公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.O恰好水面中心,OA=1.25(米)安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路么如图所示,为使水流形状较漂亮,设计成水流到OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米,如果不计其它因素,那么池半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?

分析:首先要建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,求出水流落到水面上的点到点O的距离.

解:如图建立平面直角坐标系,则设水流

所呈现的抛物的解析式可设为(顶点是(1,2.25)):

∵A(0,1.25),代入上式得,a=-1

于是抛物线为

令

∴水池半径至少要2.5米才能使水流不落到池外.

例3　 在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息货款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供资料中有:①这种消费品的进价每件14元;②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图:③每月需支付各项开支2000元.

(1)试问为使该店至少能够维持职工生活,商品价格应控制在何范围内?

(2)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额.

(3)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

分析:本题应建立三个数学模型:①根据月销量图建立Q与P的函数关系;②建立利润余额函数;③建立脱贫不等式.

解:设该店月利润余额为L,则由题意得

L=Q(P-14)×100-3600-2000　 ①

由销量图,得

Q=

代入①式得:

L=

　 　(1)当14≤P≤20时,由L≥0得18≤P≤20,当20<P≤26时,由L≥0得20<P≤22.故商品销售价应控制在18≤P≤22的范围内.

　　 (2)当14≤P≤20时,L_max=1800(元),这时P=19.5元,当20<P≤22时,L_max=1250(元),故当P=19.5元时,月利润余额最大,最大余额为1800元.

(3)设可在x年内脱贫,依题意有

12x×1800-50000-5800≥0

解得≥5.

即最早可望在5年后脱贫.

注:(2)中利用二次函数的图象来解

3.　　 根据已知条件建立函数关系式是函数应用的一个重要方面.这类问题有两类:一类根据几何、物理概念建立函数关系.另一类是通过观察、实验建立函数关系.例如自由落体的距离公式就属于观察实验建立的函数关系式.

2.　　 在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略,寻求解题途径.

1.　　 要解好数学应用问题,首先要增强应用数学的意识.一般来说,解决数学应用问题可分三步:第一步,理解题意,弄清关系;第二步,抓住关键、建立模型;第三步,数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.

能够运用函数的性质,特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题,培养用数学的意识和分析问题、解决问题的能力.

注意幂函数、指数函数、对数函数模型的差异。在区间上，尽管都是增函数，但它们的增长速度不同，随着x的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远超过的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个，当时就有。

常用几类函数模型有一元一次、二次函数模型，分段函数模型，指数、对数函数模型以及幂函数模型和反比例函数模型等。

(1)一次函数及分段函数模型：

例1、铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算。

(1)　　　 计算出托运费用。

(2)　　　 若行李质量为56kg，托运费用为多少？

分析：此题为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，求分段函数的函数值时，应先确定自变量在定义域中的范围，然后按相应的对应法则求值。

解析：(1)设行李质量为xkg，托运费用为y元，则

①若kg，则；

②若50kg<x100kg，则；

③若x>100kg，则。

所以，由①②③可知

(2)因为50kg<56kg100kg，所以

点评：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，如匀速直线运动的时间与位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数。

(2)一元二次函数模型

例2、某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个。现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值。

分析：①利润=销售总额-进货总额。

②基本关系，若设每个提价x元，利润为y元，应先弄清以下基本量：

日销量=(100-10x)个；

销售总额=(10+x)(100-10x)元；

进货总额=8(100-10x)元。这是解题的关键。

解析：设每个提价x元，利润为y元，每天销售总额为元；

进货总额为元，显然100-10x>0，x<10。

当时，y取得最大值，此时销售单价为14元，最大利润为360元。

点评：：利润问题是常见函数应用问题，通常要认清利润与价格以及销售量相互之间的制约关系，通过构造二次函数模型，利用二次函数求最值的方法解决相关的最值问题。借助二次函数模型求最值，是应用问题中的重要方法。

(3)指数、对数、幂函数模型

例3、某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3件。为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选择二次函数或(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。

分析：比较两个模拟函数的优劣，就是比较月份与产量的关系反映得更准确，先根据前三个月份的数据用待定系数法求得解析式，在验证第四个月，比较误差即可。

解析：设两个函数，。

依题意，有

所以，所以(万件)。

依题意也有，所以

所以。

经比较可知，比更接近于四月份的产量，所以选用作模拟函数较好。

点评：本题为开放型的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索，找到合适的模型，解题过程一般为：

(1)选择函数模型：一次函数为；二次函数为；

幂函数型为；指数型函数为。

(2)用待定系数法求出函数模型。

(3)检验：对求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型。