4．(2010年临沂模拟)如右图

所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是(　)

A．16　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．32

C．48　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．64

[解析]　每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．

[答案]　C

3．某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　)

A．25种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．35种

C．840种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．820种

[解析]　若选男生甲，则有C＝10种不同的选法；同理选女生乙，也有10种不同的选法；两人都不选，有5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案．

[答案]　A

2．设直线方程为Ax+By＝0，从1、2、3、4、5中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数为(　)

A．20　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．19

C．18　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．16

[解析]　确定直线只需依次确定A、B的值即可，先确定A有5种取法，再确定B有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20，但x+2y＝0与2x+4y＝0,2x+y＝0与4x+2y＝0表示相同的直线，应减去，所以不同直线的条数为20－2＝18.

[答案]　C

1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　)

A．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

[解析]　当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.

当公比为时，等比数列可为4、6、9.

同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．

[答案]　D

12．设f(x)＝(1+x)^m+(1+x)ⁿ展开式中x的系数是19(m，n∈N^*)，

(1)求f(x)展开式中x²的系数的最小值；

(2)对f(x) 展开式中x²的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x⁷的系数．

[解析]　(1)由题设条件，得m+n＝19，∴m＝19－n，x²的系数为

C+C＝C+C＝+

＝n²－19n+171

＝(n－)²+.

∵n∈N^*，∴当n＝9或n＝10时，

x²的系数取最小值()²+＝81.

(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，

x²的系数取最小值，

此时x⁷的系数为C+C＝C+C＝156.

11．已知(x+)ⁿ展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．

[解析]　∵T_r+1＝C(x)^n－r·()^r

＝C2^rx(r＝0,1,2，…，n)，

∴由题意得C2⁰+C·2+C·2²＝129，

∴1+2n+2(n－1)n＝129，∴n²＝64，

∴n＝8.故T_r+1＝C2^rx(r＝0,1,2，…，8)．

若展开式存在常数项，则＝0，

∴72－11r＝0，∴r＝∉N，

∴展开式中没有常数项．

若展开式存在一次项，则＝1，

∴72－11r＝6，

∴r＝6，

∴展开式中存在一次项，它是第7项，

T₇＝C2⁶x＝1 792x.

10．已知(a²+1)ⁿ展开式中各项系数之和等于(x²+)⁵的展开式的常数项，而(a²+1)ⁿ的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

[解析]　由(x²+)⁵得，

T_r+1＝C(x²)^5－r()^r＝()^5－r·C·x.

令T_r+1为常数项，则20－5r＝0，

∴r＝4，∴常数项T₅＝C×＝16.

又(a²+1)ⁿ展开式的各项系数之和等于2ⁿ，

由题意得2ⁿ＝16，∴n＝4.

由二项式系数的性质知，(a²+1)ⁿ展开式中二项式系数最大的项是中间项T₃，

∴Ca⁴＝54，∴a＝±.

9．(2008年辽宁高考)已知( 1+x+x²)(x+)ⁿ的展开式中没有常数项，n∈N^*且2≤n≤8，则n＝________.

[解析]　设(x+)ⁿ的通项为

T_r+1＝Cx^n－r(x^－3)^r＝Cx^n－4r(r∈N且0≤r≤n)．

若(x+)ⁿ中无常数项，x^－1，x^－2项，

则(1+x+x²)(x+)ⁿ的展开式中无常数项．

∴当n＝2时，若r＝1，则n－4r＝－2(舍)，

当n＝3时，若r＝1，则n－4r＝－1(舍)，

当n＝4时，若r＝1，则n－4r＝0(舍)，

当n＝5时，不论r为何值，n－4r≠0，－1，－2，

当n＝6时，若r＝2，则n－4r＝－2(舍)，

当n＝7时，若r＝2，则n－4r＝－1(舍)，

当n＝8时，若r＝2，则n－4r＝0(舍)．

[答案]　5

8．(2010年石家庄模拟)在(x³+)⁵的展开式中，x⁵的系数是________；各项系数的和是________．(用数字作答)

[解析]　(x³+)⁵的展开式通项公式为C(x³)^5－r()^r＝Cx^15－3rx^－2r·2^r＝Cx^15－5r·2^r.令15－5r＝5，r＝2，

∴x⁵的系数为2²·C＝4×10＝40.令x＝1，各项系数的和为3⁵＝243.

[答案]　40　243

7．1+3+3²+…+3⁹⁹被4除所得的余数是________．

[解析]　∵1+3+3²+…+3⁹⁹＝

＝(3¹⁰⁰－1)＝[(4－1)¹⁰⁰－1]

＝(4¹⁰⁰－C4⁹⁹+…+C·4²－C·4+1－1)

＝(4¹⁰⁰－C4⁹⁹+…+C·4²－C4)

＝8(4⁹⁸－C4⁹⁷+…+C－25)，

显然能被4整除，所以余数为0.

[答案]　0