2．当两根中有且仅有一根在区间(α，β)内，方程系数所满足的充要条件：

　∵α＜x₁＜β或α＜x₂＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形(图2)

　从四种情形得充要条件是：

　f(α)·f(β)＜0　　　②

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：

　∵α＜x₁＜x₂＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)

　当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0

　当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0

　两种情形合并后的充要条件是：

　Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0　　①

2、利用函数零点研究方程的根

　由于函数的零点就是方程的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决。

　例2已知函数，若是方程的两个根，则实数之间的大小关系是　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A.　　　 B.　　　 C.　　 D.

解：令，则函数的两个零点是。

因为是方程的两个根，

函数的两个零点。

而函数的图象是由函数的图象向上平移两个单位得到的，

结合图象可知：，故选B。

例3已知关于的方程的两根满足，求实数的取值范围。

解：依题意，关于的方程的两根满足，即函数的两零点满足，

结合二次函数的图象可得：

，

即，解得：。

1、利用函数零点解不等式

二次函数的图象是连续的，当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。

例1二次函数的部分对应值如下表：

则不等式的解集是。

解：由表中数据可知函数的两个零点分别为和，这两个零点将其余实数分为三个区间：。

在区间中取特殊值，由于，因此根据二次函数变号零点的性质可得：

当时，都有；

当时，都有;

当时，都有。

不等式的解集为。

　例4　 校办工厂现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年可增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间的函数关系是什么?如果增加1.5万元投资，年产值可达到多少?

　解：依题意，得y＝15+2.5x(x≥0).

　当x＝1.5万元时，y＝15+2.5×1.5＝15+3.75＝18.75(万元).

　答：(略)

　由以上问题可知，当函数自变量的取值范围遇到实际问题时，应使实际问题有意义．因此，不管要求与否，求函数解析式时均应注明自变量的取值范围．

　例3　 某公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流向各个方向沿形状相同的抛物线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水平最大高度2.25米．

　如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外?

　分析：建立以OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，O点为坐标原点的平面直角坐标系．设水流动的轨迹抛物线的顶点为B，水流落水与x轴交点为C，建立函数解析式求解．

　解：由题意，知A(O，1.25)、B(1，2.25)、C(x，0)．

设y＝ax²+bx+c.∴＝－x²+2x+1.25 ．

　当y＝0时，x＝2.5或x＝－0.5(舍去)．

　∴池的半径至少要2.5米．

　例1 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．

　(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你给设计出来；

　(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

　分析：列方程(组)解应用题的关键是找出包括应用题全部含义的相等关系，而函数型应用题的解题步骤与列方程(组)解应用题的步骤相类似，只是不一定列出相等关系(可以是相等或不等关系)．

　解：(1)设安排生产A种产品工件，则生产B种产品为(50－x)件．依题意，得解此不等式组，得30≤x≤32．

　∵x为整数，∴x只能取30、31、32，相应的(50－x)的值为20、19、18．

　∴生产方案有三种

　第一种生产方案：生产A种产品30件、B种产品20件；

　第二种生产方案：生产A种产品31件、B种产品19件；

　第三种生产方案：生产A种产品32件、B种产品18件．

　(2)设生产A种产品的件数为x，则生产B种产品的件数为50－x，依题意，得y＝700x+1200(50－x)．

　∴y＝500x+6000．其中x只能取30、31、32．

　∵－500＜0，∴此一次函数y随x的增大而减小．

　∴当x＝30时，y的值最大，

　即按第一生产方案安排生产，获总利润最大．

　最大利润为－500×30+6000＝4500(元)．

　答：按第一生产方案安排生产获总利润最大，最大利润为4500元．

　例2　 某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元，

　(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y_甲，乙旅行社收费为y_乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；

　(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；

　(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?

　请同学自己给出解答．

　提示：(1)y_甲＝120x+240，y_乙＝144x+144(x为正整数)；

　(2)x＝4；

　(3)x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＞4时，甲旅行社更优惠．

5．已知，则有(　　　 )

．　　　　　 ．

．　　　 ．

4．若函数的图象过两点，则(　　 )

．　　　　 ．

．　　　　 ．

3．函数的定义域为(　　 )

．　　　　 ．

．　　　　 ．