3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为(　　 )

A.［，+∞)　　　　　　　　　　　　　 B.(-∞,-1]∪［,+∞)

C.{-1}∪［，+∞)　　　　　　　　　　 D.［-1，］

答案：C

解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立，

当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x≥.

2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是(　　 )

A.0　　　　　　　　　 B.-1　　　　　　 C.1　　　　　　　　 D.2

答案：A

解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A.

1.不等式ax²+5x+c>0的解集为()，那么a,c为(　　 )

A.a=6,c=1　　　　　　　　　　　　　　　 B.a=-6,c=-1

C.a=1,c=6　　　　　　　　　　　　　　　 D.a=-1,c=-6

答案：B

解析：由题意得为方程ax²+5x+c=0的两根是a<0.

故=-,

∴a=-6,c=-1.

14.已知数列{a_n}满足:a₁=2,a_n+1=2(1+)²a_n.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=(An²+Bn+C)·2ⁿ,试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立？说明你的理由;

(3)求证：a₁+a₂+a₃+…+a_n≥2ⁿ⁺²-6.

(1)[解析]由已知a_n+1=2·()²a_n,即.

∴数列{}是公比为2的等比数列,又=2,∴=2ⁿ.∴a_n=2ⁿ ·n².

(2)[解析]∵b_n+1-b_n=［An²+(4A+B)n+2A+2B+C］·2ⁿ

若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则n²=An²+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.

∴故存在常数A、B、C满足条件.

(3)证明：a₁+a₂+…+a_n=(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n+1-b_n)=b_n+1-b₁

=［(n+1)²-4(n+1)+6］·2ⁿ⁺¹-6=(n²-2n+3)·2ⁿ⁺¹-6=［(n-1)²+2］·2ⁿ⁺¹-6≥2ⁿ⁺²-6.

13.(2010全国大联考，22)已知正项数列{a_n} 满足a₁=a(0＜a＜1＝,且a_n+1=.求证:

(1)0＜a_n+1＜；

(2)a_n=;

(3)+…+＜1.

证明：(1)∵y=,

∴函数y=(0＜x＜1)是增?函数.

由已知a_n+1=,0＜a_n＜1,

∴0＜a_n+1＜.

(2)∵a_n+1=(n∈N^*),

∴1(n∈N^*),

即数列{}是首项为,公差为1的等差数列.

∴=+(n-1),a_n=(n∈N^*).

(3)由已知a_n=(∵0＜a＜1),

∴+…++…+

=1-＜1.

12.设数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁=6,a₂=b₂=4,a₃=b₃=3,且数列{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等差数列，数列{b_n-2}(n∈N^*)是等比数列.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)是否存在k∈N^*,使a_k-b_k∈(0,)?若存在，求出k；若不存在，说明理由.

[解析](1)由已知a₂-a₁=-2,a₃-a₂=-1,d=-1-(-2)=1.

∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)+(n-1)·1=n-3.

n≥2,a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2+…+(a₃-a₂)+(a₂-a₁)+a₁)

=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6

=.

n=1也合适.

∴a_n=(n∈N^*).

又b₁-2=4,b₂-2=2.即q==，

∴b_n-2=(b₁-2)·()^n-1,

即b_n=2+8·()ⁿ.

∴数列{a_n}{b_n}的通项公式为：a_n=,b_n=2+()^n-3.

(2)设f(k)=a_k-b_k=k²-k+7-8·()^k=(k-)²+-8·()^k.

当k≥4时(k-)²+为k的增函数，-8·()^k也为k的增函数，

而f(4)= .

∴当k≥4时a^k-b^k≥.

又f(1)=f(2)=f(3)=0,

∴不存在k，使f(k)∈(0,).

11.已知A_n(n,a_n)为函数y₁=图象上的点，B_n(n,b_n)为函数y₂=x图象上的点，设?c_n=a_n-b_n,其中n∈N^*.

(1)求证：数列{c_n}既不是等差数列也不是等比数列;

(2)试比较c_n与c_n+1的大小.

(1)证明：依题意，a_n=,b_n=n,c_n=-n.

假设{c_n}是等差数列，则2c₂=c₁+c₃,

2(-2)=-1+-3.

有2=+，产生矛盾，∴{c_n}不是等差数列.

假设{c_n}是等比数列，则c₂²=c₁c₃,

即(-2)²=(-1)(-3)，有?21=47，产生矛盾.

∴{a_n}也不是等比数列.

(2)[解析]∵c_n+1=-(n+1)＞0,

c_n=-n＞0,

∴=.

又∵0＜,0＜n＜n+1,

∴+n+1,

∴0＜＜1,

∴＜1,即c_n+1＜c_n.

10.三个实数6、3、-1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和-1之间插入一个实数，使得这6个数中的前三个，后三个分别成等差数列，且插入的3个数本身顺次成等比数列，那么所插入的这3个数的和可能是：①;②3;③;④7.其中正确的序号是(把正确的序号都填上).

[答案]①④

[解析]设插入的三个数为x、y、z，

则解得

9.64个正数排成8行8列，如下所示

a₁₁　 a₁₂　 …　 a₁₈

a₂₁　 a₂₂　 …　 a₂₈

…　 …　 …　 …

a₈₁　 a₈₂　 …　 a₈₈

在符号a_ij(1≤i≤8,1≤j≤8)中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列(且每列公比都相等)，a₁₁=,a₂₄=1,a₃₂=,则a_ij的通项公式为a_ij=_________________.

[答案]j·()ⁱ

[解析]由题设第二行的公差为d，每一列的公比为q,则q=.

解得d=或d=(舍，此时a₂₁＜0＝),?q=,

∴a_ij=a_2j·()^i-2=［a₂₄+(j-4)·］·()^i-2=j·()ⁱ.

8.一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有_____________只羊.

[答案]2

解法一：(逆推)过最后一个关口有两只羊，则过第35个关口也是2只羊，依次类推，原来有2只羊.

解法二：设原有羊x只，则过第n个关口有a_n，则a₁=+1,a_n=a_n-1+1,∴a_n-2=(a_n-1-2),{a_n-2}为等比数列，∴a_n=2+(x2-1)()^n-1.依题意，2+(-1)()^n-1=2x=2.