7.(2010全国大联考,12)一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P(n)表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是(　　 )

A.P(3)=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.P(5)=1

C.P(101)=21　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.P(103)＜P(104)

[答案]D

[解析]易知A、B正确，又机器猫每5秒钟实际向前进一步，故P(101)=P(5×20+1)=21, P(103)=P(20×5+3)=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23-1=22,故选D.

6.若数列{a_n}前8项的值各异且a_n+8=a_n对任意n∈N^*都成立，则下列数列中可取遍{a_n}前8项值的数列为(　　 )

A.{a_2k+1}　　　 　　　　　　　B.{a_3k+1}　　　　　　 C.{a_4k+1}　　　　　　　　 D.{a_6k+1}

[答案]B

[解析]∵2k+1,4k+1,6k+1只能取奇数，又周期为8，故排除A、C、D.选B.

5.数列{a_n}的前n项和为S_n=4n²-n+2,则该数列的通项公式为(　　 )

A.a_n=8n+5(n∈N^*)　　　　　　　　　　　　　　　 B.a_n=

C.a_n=8n+5(n≥2)　　　　　　　　　　　　　　　 D.a_n=8n+5(n≥1)

[答案]B

[解析]a₁=S₁=4×1²-1+2=5,排除A、C、D.

4.数列{a_n}中，a₁=1，对所有的n≥2且n∈N^*,都有a₁a₂…a_n=n²,则a₃+a₅等于(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

[答案]C

[解析]当n≥2时，a_n=，

故a₃+a₅=.

3.数列,…中，有序数对(a,b)可以是(　　 )

A.(21，-5)　　　　　　　　　　　　　　　 B.(16，-1)

C.(-)　　　　　　　　　　　　　　　 D.()

[答案]C

[解析]通项公式为,

故

∴a=,b=-.

2.数列{a_n}中，a₁=2,a₂=5,a_n+1=a_n+2+a_n,则a₆等于(　　 )

A.-3　　　　　　　　　 B.-4　　　　　　　　 C.-5　　　　　　　 D.2

[答案]A

[解析]a₃=a₂-a₁=3,a₄=a₃-a₂=-2,a₅=a₄-a₃=-5,a₆=a₅-a₄=-3.

1.数列3，7，13，21，31，…的一个通项公式为(　　 )

A.4n-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.n³-n²+n+2

C.n²+n+1　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.n(n-1)(n+2)

[答案]C

[解析]令n=3,排除A、B、D.

14.设{a_n}是正数组成的数列,其前n项和为S_n,且对于所有的正整数n,有a_n=2-2.

(1)写出数列{a_n}的三项;

(2)求数列{a_n}的通项公式,并写出推证过程;

(3)令b_n=,求数列{b_n}的前n项和T_n.

[解析](1)由题意，当n=1时，有a₁=2-2,S₁=a₁，

∴a₁=2-2,解得a₁=2.

当n=2时，有a₂=2-2,S₂=a₁+a₂,

将a₁=2代入，整理得(a₂-2)²=16,

由a₂＞0，解得a₂=6.

当n=3时，有a₃=2-2,S₃=a₁+a₂+a₃,

将a₁=2,a₂=6代入，整理得(a₃-2)²=64,

由a₃＞0，解得a₃=10.

所以该数列的前三项分别为2，6，10.

(2)由a_n=2-2(n∈N^*),整理得S_n=(a_n+2)²,

则S_n+1=(a_n+1+2)²,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=［(a_n+1+2)²-(a_n+2)²］.

整理，得(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n-4)=0,

由题意知a_n+1+a_n≠0,∴a_n+1-a_n=4.

∴即数列{a_n}为等差数列，其中首项a₁=2，公差d=4,

∴a_n=a₁+(n-1)d=2+4(n-1).

即通项公式为a_n=4n-2(n∈N^*).

(3)b_n=,

T_n=b₁+b₂+…+b_n

=.

13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：

(Ⅰ)每年年末加1 000元；

(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.

(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？

(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？

[解析]设方案一第n年年末加薪a_n,因为每年末加薪1 000元，则a_n=1 000n；设方案二第n个半年加薪b_n，因为每半年加薪300元，则b_n=300n.

(1)在该公司干10年(20个半年)，方案(Ⅰ)共加薪S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55 000(元).

方案(Ⅱ)共加薪T₂₀=b₁+b₂+…+b₂₀=20×300+×300=63 000元.

(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：

S_n=a₁+a₂+…+a_n=1 000×n+×1 000=500n²+500n,

T_2n=b₁+b₂+…+b₂₀=2n×300+×300=600n²+300n；

令T_2n≥S_n即600n²+300n＞500n²+500n,解得，n≥2,当n=2时等号成立.

∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.

12.已知f(x)=x²-2(n+1)x+n²+5n-7,

(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；

(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n},求{b_n}的前n项和.

(1)证明：f(x)=［x-(n+1)²］+3n-8,

∴a_n=3n-8.∵a_n-1-a_n=3,

∴{a_n}为等差数列.

(2)[解析]b_n=|3n-8|,

当1≤n≤2时，b_n=8-3n,b₁=5.

S_n=；

当n≥3时，b_n=3n-8.

S_n=5+2+1+4+…+(3n-8)

=7+

=.

∴S_n=