1.若a>1,b>0,且a^b+a^-b=2,则a^b-a^-b的值为(　　 )

A.　　　　　　　 B.2或-2　　　　　　 C.-2　　　　　　　　 D.2

答案：D

解析：(a^b+a^-b)²=8a^2b+a^-2b=6,

∴(a^b-a^-b)²=a^2b+a^-2b-2=4,

又a^b>a^-b(a>1,b>0),∴a^b-a^-b=2.

13.已知函数f(x)=+e^x.

(1)求证：f(x)>;

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是f(x)的图象上任意两点.求证：直线AB的斜率大于零.

证明：(1)先求f(x)的定义域.由ln(e^x-)≥0得e^x-≥1即e^x≥+1,

∴x≥ln(+1).求得f(x)的定义域为［ln(+1),+∞).

由于ln(e^x-)及e^x都是增函数，故f(x)在定义域内是增函数.

∴f(x)≥f［ln(+1)］=+1=.

∴f(x)>.

(2)设ln(+1)<x₁<x₂,

∵y=f(x)在定义域内是增函数，

∴y₁<y₂,故直线AB的斜率k=>0.

12.已知x满足2(x)²+7x+3≤0,求f(x)=(log₂)·(log₂)的最小值和最大值.

解析：∵2(x)²+7x+3=(2x+1)(x+3)≤0,

∴-3≤x≤-≤log₂x≤3.

令t=log₂x,则t∈［，3］，

∴f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)²-.

∵t∈［，3］，

∴f(x)∈［-，2］.

∴f(x)的最小值和最大值分别为-,2.

11.设函数f(x)=log_a(1-),其中0<a<1.

(1)证明f(x)是(a,+∞)上的减函数；

(2)解不等式f(x)>1.

(1)证明：任取x₁、x₂∈(a+∞),且x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=log_a(1-)-log_a(1-)=log_a.

∵-1=,

∵0<a<1,a<x₁<x₂,

∴>0,且-1<0，

即0<<1,

∴log_a>0.

∴f(x₁)>f(x₂)，∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.

(2)解析：解法一：∵0<a<1,

∴f(x)>1log_a(1-)>log_aa

解不等式①得，x>a或x<0.

解不等式②得，0<x<.

∵0<a<1,∴a<,

∴原不等式解集为{x|a<x<}.

解法二：函数f(x)的定义域为{x|x>a或x<0}.

∵0<a<1,

∴当x<0时，1->1.

∴f(x)=log_a(1-)<0,不合题意.

当x>a时,解方程f(x)=1,得x=.

由(1)知f(x)是(a,+∞)上的减函数,

∴f(x)>1时,x<.

∵a<,

∴原不等式解集为{x|a<x<}.

10.关于函数f(x)=lg(x≠0，x∈R),有下列命题,其中正确命题的序号是__________(把你认为都正确的序号都填上).

①函数y=f(x)的图象关于y轴对称；②当?x>0时，f(x)是增函数；当x<0时,?f(x)是减函数；

③函数f(x)的最小值是lg2；④当-1<x<0或x>1时，f(x)是增函数

答案：①③④

解析：设t=,则t≥=2,

∴f(x)=lg2.

易证函数t=为偶函数,且x>0,t=x+在(0，1)上递减，(1,?+∞)递增.故f(x)在(-1,0)或(1，+∞)递增.

9.函数f(x)= (x²-5x-6)的单调递减区间为________________.

答案：(6，+∞)

解析：∵y=t递减，即求t=x²-5x-6的递增区间且t>0,故f(x)的递减区间为(6，+∞).

8.设方程lg²x+(lg2+lg3)·lgx+lg2·lg3=0的两根为x₁、x₂,那么x₁·x₂的值是________________.

答案：-

解析：lgx₁+lgx₂=-(lg2+lg3)lgx₁x₂=-lg6,x₁·x₂=-.

7.(2010江苏金陵中学模拟，5)设函数f(x)=1-x²+(x-1),则下列说法正确的是(　　 )

A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值

B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值

C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值

D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值

答案：D

解析：∵x>1，∴y₁=1-x²在(1,+∞)递减.y₂=(x-1)在(1，+∞)上递减，∴f(x)在(1，+∞)上是减函数，且f(x)无最值.

6.当a>1,在同一坐标系中，函数y=a^-x和y=log_ax的图象是(　　 )

答案：A

解析：∵a>1,∴0<<1,故y=a^-x=()^x单调递减.故选A.