7.2010全国大联考，9 函数f(x)=-x²-2x在［a,b］上的值域是［-3，1］，则a+b的取值集合为(　　 )

A.{-4，0}　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［-4，-2］

C.［-2，0］　　　　　　　 　　　　　　　　　D.［-4，0］

答案：D

解析：因f(x)=-(x+1)²+1作其图象知-3≤a≤-1,-1≤b≤1，

∴-4≤a+b≤0.

6.设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为(　　 )

A.［0，］　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［0，］

C.［0，||］　　　　　　　　　　　　　　　 D.［0，||］

答案：B

解析：∵f′(x₀)=2ax₀+b∈［0，1］，∴P到对称轴x=-的距离为|x₀+|=|2ax₀+b|∈［0，］.

5.方程x²+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　 )

A.(-5，-4]　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(-∞,-4)

C.(-∞,-2)　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(-∞,-5)∪(-5,-4)

答案：A

解析：由下图知

-5<m≤-4.

4.对于定义在R上的函数f(x)，若实数x₀满足f(x₀)=x₀,则称x₀是函数f(x)的一个不动点.函数f(x)=6x-6x²的不动点是(　　 )

A.或0　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.或0　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：由已知x₀=6x₀-6x₀²x₀=0或x₀=.

3.已知二次函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，并且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两根，则a、b、α、β的大小关系是(　　 )

A.α<a<b<β　　　　　　　　　　　　　　　 B.a<α<β<b

C.a<α<b<β　　　　　　　　　　　　　　　 D.α<a<β<b

答案：A

解析：∵(x-a)(x-b)=2>0,∴x<a或x>b,即α<a或β>b.

2.设函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0,x∈R),对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立，在函数值f(-1)、f(1)、f(2)、f(5)中，最小的一个不可能是(　　 )

A.f(-1)　　　　　　　　 B.f(1)　　　　　　　 C.f(2)　　　　　　　　 D.f(5)

答案：B

解析：由f(2+t)=f(2-t)知函数y=f(x)的图象对称轴为x=2.

当a>0时，易知f(-1)>f(1)>f(2),f(5)>f(2);

当a<0时，易知f(-1)<f(1)<f(2),f(5)<f(2).

故最小的不可能是f(1).

1.函数y=ax²+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是(　　 )

答案：D

解析：抛物线过原点排除A，又直线与抛物线都过点(-,0)，排除B、C，选D.

14.(2010江苏金陵中学模拟，18)已知函数f(x)=a^x-2-1(a>0,a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于区间(2,+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

解析：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.

当a>1时，x≤log_a4;

当0<a<1时，x≥log_a4.

即当a>1时，f(x)的定义域为(-∞,log_a4］;

当0<a<1时，f(x)的定义域为［log_a4,+∞).

令t=,则0≤t<2,且a^x=?4-t²,?∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4,

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数,

∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<?f(x)≤3.∴函数f(x)的值域是(-5，3］.

(2)若存在实数a使得对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x,都有?f(x)≥0,则区间(2,+∞)是定义域的子集.由(1)知，a>1不满足条件；若0<a<1,则log_a4<2,且f(x)是x的减函数.

当x>2时，a^x<a².由于0<a²<1,

∴t=.

∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立.

综上，满足条件的a的取值范围是.

13.已知函数f(x)=3^x,且f^-1(18)=a+2,g(x)=3^ax-4^x的定义域为区间［0，1］.

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；

(3)求g(x)的值域.

解析：(1)∵f^-1(18)=a+2,∴f(a+2)=18,3^a+2=18, 即3^a=2.

∴g(x)=3^ax-4^x=2^x-4^x,x∈［0，1］.

(2)g(x)=2^x-4^x在［0，1］递减.

证明：设x₁,x₂∈［0，1］，且x₁<x₂，

g(x₂)-g(x₁)=，

∵0≤x₁<x₂≤1,

∴<0.

∴g(x₂)<g(x₁)即证.

(3)由(2)知　 -2≤g(x)≤0,g(x)的值域为［-2，0］.

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(log₂x)=x+(a为常数).

(1)求f(x)的解析式;

(2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单?调性.

解析：(1)设log₂x=t,则x=2^t,

∴f(t)=2^t+,

∴f(x)=2^x+(x∈R).

(2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),

即,

即,

∴(2^x-2^-x)(a-1)=0对x∈R恒成立，∴a=1.∴f(x)=2^x+(x∈R).

设x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=

∵x₁<x₂,∴>0.

①若x₁,x₂∈(-∞,0］,则x₁+x₂<0,

∴<1.

∴f(x₁)-f(x₂)>0,f(x₁)>f(x₂).

故函数f(x)在(-∞，0］上是减函数.

②当x₁、x₂∈(0,+∞),则x₁+x₂>0,

∴>1.

∴f(x₁)-f(x₂)<0即f(x₁)<f(x₂).

故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

或由f(x)是偶函数且在(-∞，0］上是减函数,由对称性可知f(x)在(0,+∞)上是增函数.