7．在△ABC中，若a＝3，cosC＝，S_△ABC＝4，则b＝__________.

解析：∵cosC＝，∴sinC＝ ＝，

又S_△ABC＝4，即absinC＝4，∴b＝2.

答案：2

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则(　)

A．a>b　 　　　　　　　　　　 B．a<b

C．a＝b　 　　　　　　　　　 D．a与b的大小关系不能确定

解析：法一由余弦定理得2a²＝a²+b²－2abcos120°，b²+ab－a²＝0，

即()²+－1＝0，＝<1，

故b<a.

法二：由余弦定理得2a²＝a²+b²－2abcos120°，

b²+ab－a²＝0，b＝，

由a<a+b得b<a.

答案：A

5．(2010·惠州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a²+c²－b²)tanB＝ac，则角B的值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　 B.

C.或　 　　　　　　　　　 D.或

解析：∵＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝.

答案：D

4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　)

A.　 　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　 D.

解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，则腰长为2a.

由余弦定理得cosθ＝＝.

答案：D

3．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　)

A．2　　　　　B．8

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　 　D.

解析：∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，

∴S_△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.

答案：C

2．△ABC中，a＝，b＝，sinB＝，则符合条件的三角形有(　)

A．1个　　　　　 B．2个

C．3个　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0个

解析：∵asinB＝，∴asinB<b＝<a＝，

∴符合条件的三角形有2个．

答案：B

1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析：a<b⇔A<B⇔cosA>cosB.

答案：C

12．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，

∴∠OCP＝120°.

在△POC中，由正弦定理得

＝，∴＝，

所以CP＝sinθ.

又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．

因此△POC的面积为

S(θ)＝CP·OCsin120°

＝·sinθ·sin(60°－θ)×

＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ)

＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)．

所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.

11．以40 km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1 000米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．

解：如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．

由题知，BD＝1 000米，

AC＝2千米，

∵∠BCD＝30°，

∴BC＝千米，

设AB＝x千米，

∵∠BAC＝90°－30°＝60°，

∴由余弦定理得2²+x²－2×2xcos60°＝()²，

∴x²－2x+1＝0，∴x＝1.

∴气球水平飘移速度为＝20 km/h.

10．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

解：如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC²＝AB²+AC²－2AB·AC·cos120°＝2 800⇒BC＝20.

由正弦定理得，＝

⇒sin∠ACB＝sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.

由θ＝∠ACB+30°，

得cosθ＝cos(∠ACB+30°)

＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.