2. (广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有的时间加工零件A,　 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为(　 ) 　

A.　 　　B. 　　C. 　　　D.　

答案：A

1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　 　　　　　　　B．

　C．　 　　　　　　　D．

答案：B

2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)

某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, ……1分.

所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,……13分.

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. 广东深圳外国语学校2008-2009学年高三月考理

某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。

答案:

2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？

解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。

因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：

X	0	1	2	3	4
P

考点三: 独立重复试验与二项分布

题型1: 独立重复试验与二项分布的应用

[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=______________。(填计算式)

　[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。

解析：

　[例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法

解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次

记事件＝“射击一次，击中目标”，则．

∵射击次相当于次独立重复试验，

∴事件至少发生1次的概率为．

由题意，令，∴，∴，

∴至少取5．

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

[名师指引]要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。

[新题导练]

1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？

解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得

2．(山东卷18)

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

(Ⅰ)求随机变量ε分布列；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

解:　 (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为

ε	0	1	2	3
P

(Ⅱ)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

由互斥事件的概率公式得

考点二: 两点分布与超几何分布

题型1: 两点分布与超几何分布的应用

[例3] 高二(十)班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？

[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.

解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，

因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：

X	0	1	2	3	4	5
P

[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。(1)求方差的最大值；(2)求的最大值。

　[解题思路]：

(1)由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；

(2)得到后自然会联想均值不等式求最值。

解析：(1)的分布列如表：所以，

所以时，有最大值。

(2)由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。

[名师指引]在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).

[新题导练]

1. (湖南卷16).(本小题满分12分)

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试

合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;

解:　 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

至少有1人面试合格的概率是

2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．

解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则

(1)因为100 件产品中有 70 件一等品，

(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以

方法二:

题型2。相互独立事件和独立重复试验

[例2] (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．

　　 (Ⅰ)求此公司一致决定对该项目投资的概率；

(Ⅱ)求此公司决定对该项目投资的概率；

[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有次发生的区别

解析：(Ⅰ)此公司一致决定对该项目投资的概率

P= ()³＝

(Ⅱ)此公司决定对该项目投资的概率为 P＝C₃²()²()+C₃³()³＝

答: (Ⅰ)此公司一致决定对该项目投资的概率为

(Ⅱ)此公司决定对该项目投资的概率为.

[名师指引] 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定第次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为

[新题导练]

3.重难点：.

(1) “互斥”与“独立”混同

问题1: 　甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?

　　 错解　 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：

　 点拨:　 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．

　　 正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= ．

(2)“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同

问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．

　　 错解　 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.

点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P(B/A)表示在缩减的样本空间S_A中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。

正确答案：P(C)= P(AB)=P(A)P(B/A)=。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验

题型1. 条件概率

[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0-9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；

⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

[解题思路]：

⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？

⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？

⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？

解析：设事件表示第次按对密码

⑴

⑵事件表示恰好按两次按对密码，则

⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：

[名师指引]

⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法--缩减样本空间法

⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式

[新题导练]