5. 在数列中，，

(1)写出；(2)求数列的通项公式

[解析] ，，猜想

下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，由上面的探求可知猜想成立

(2)假设n=k时猜想成立，即

则

所以当n=k+1时，猜想也成立

综合(1)(2)，对猜想都成立

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4.数列中，，用数学归纳法证明：

[解析](1) 当n=1时, ,不等式成立

(2)假设当n=k时等式成立，即，

则，

当n=k+1时， 不等式也成立

综合(1)(2)，不等式对所有正整数都成立

题型2 用“归纳--猜想--证明”解决数学问题

[例3 ]是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论

[解题思路]从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立

　[解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得，

猜想：等式对一切都成立

下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，由上面的探求可知等式成立

(2)假设n=k时等式成立，即则

所以当n=k+1时，等式也成立

综合(1)(2)，对等式都成立

[名师指引]这是一个探索性命题，“归纳--猜想--证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式

[新题导练]

3. 用数学归纳法证明等式：

[解析] (1)当n=1时，左==右，等式成立

(2)假设当n=k时等式成立，即

则

当n=k+1时，等式也成立

综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立

2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是　　　　　

[解析]求即可

当 n=k时，左边，

n=k+1时，左边,

故左边增加的式子是，即

考点2　 数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题(恒等式、不等式、整除性问题等)

[例2 ]用数学归纳法证明不等式

[解析](1)当n=1时，左=，右=2，不等式成立

(2)假设当n=k时等式成立，即

则

当n=k+1时， 不等式也成立

综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立

[名师指引](1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；

(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

(3)由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

[新题导练]

1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是( )

A. 1　　　　 B.　　　 C.　　 D.

[解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B

3.“归纳--猜想--证明”是一种重要的思维模式

问题3：在数列中，，求数列的通项公式

点拨：本题有多种求法，“归纳--猜想--证明”是其中之一

解析：猜想

下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，，猜想成立

(2)假设当n=k时猜想成立，则

当n=k+1时猜想也成立

综合(1)(2)，对猜想都成立

★热点考点题型探析★

考点1 　数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

[例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(且为偶数)时命题为真，，则还需证明( )

A.n=k+1时命题成立　　　　　 B. n=k+2时命题成立

　C. n=2k+2时命题成立　　　　 D. n=2(k+2)时命题成立

[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B

[名师指引]用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：(1)n的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它)，确定n=k时命题的形式(3)从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加(乘)上的式子

[新题导练]

2.归纳起点未必是1

问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为

点拔：本题的归纳起点

1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

问题1用数学归纳法证明：

错证：(1)当n=1时，左=右=1，等式成立

(2)假设当n=k时等式成立，

那么当n=k+1时，

综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

★重难点突破★

重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题

难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推

重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可