6．(广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考)

命题：“若，则”的逆否命题是(　 )

A若，则　　　 B.若，则

C.若，则　　　 D. .若，则

答案：A

5．(广东省汕头市澄海区2008年统测)

命题：“设、、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　 )

A．0　 　　B．1　 　　C．2　 　　D．3

答案：C

4．(2009年广东省广州市高三年级调研测试)命题“”的否命题是 (　 )　

A.　　　 B.　

C.　　　 D.

　答案： C

题型3。四种命题间的关系与反证法

[例4]若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假

[解题思路]：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假

解析：逆命题：若ax²+bx+c=0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0；是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x²－3x+2=0有两个不等实根x₁=1，x₂=2，但ac=2＞0

否命题：若ac≥0，则方程ax²+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根；是假命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题

逆否命题：若ax²+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0；是真命题. 因为原命题是真命题，它与原命题等价

[例5] 用反证法证明：

设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.

[解题思路]：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a, b, c中至多有一个数不小于1”的反设为“a, b, c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.

解析：证明：假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：

(1)a、b、c三数均小于1，

即0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,则

∴>3与已知条件矛盾；

(2)a、b、c中有两数小于1，

设0<a<1,　 0<b<1,而c≥1，则

∴>2+>2，也与已知条件矛盾；

∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.

[名师指引]利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假(尤其是对否定式语句的命题)，充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。

[新题导练]

3. (广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考(数学理))

命题“若＞0，则”的逆命题是　　　　　　　　　　

答案： 逆命题是“若”

2．(广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试)

以下命题：

① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；

　　 ② 过圆上的点与圆相切的直线方程是；

　　 ③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；

　　 ④ 抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离。

其中正确命题的标号是　　　　　　　 。

答案；②④

题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题

[例3] 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.

(1)若，则全为0 .

(2)若是偶数，则都是偶数.

(3)若，则

[解题思路]：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”. 另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它们的区别.

解析: 因为原命题是“若若”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命题、逆否命题.

解答：(1)逆命题：若全为0，则.

否命题：若，则不全为0 .

逆否命题：若不全为0，则.

(2)逆命题：若都是偶数，则是偶数.

否命题：若不是偶数，则不都是偶数.

逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数.

(3)逆命题：若，则.

否命题：若，则

逆否命题：若，则.

[名师指引]认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假

[新题导练]

1．下列命题中是假命题的是(　 )

(A)矩形的对角线相等　　　 (B)若是奇数，则是奇数

(C)　　　　　 (D)若，则

答案: C

3.重难点：.

(1) 与命题相关的判析

问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？

①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；

②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；

③“一个数不是正数就是负数”；

④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；

⑤“为有理数，则、也都是有理数”；

⑥ “作∽”.

解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假.

　① 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.

　　 ② 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题；

　　 ③ 是假命题, 数0既不是正数也不是负数.

　　 ④ 感叹句, 不是命题.

　　 ⑤ 是假命题, 如.

　　 ⑥ 祈使句, 不是命题.

　命题有: ①③⑤ ；真命题有: ①

点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.

问题2：你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗?

(1)　 实数的平方是非负数.

(2)　 等底等高的两个三角形是全等三角形.

(3)　 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.

(4)　 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.

解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题.

　 (2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题.

　 (3) 若一个数能被6整除的数, 则它既能被3整除也能被2整除.

　(4) 若一条直线是弦的垂直平分线,　 则它经过圆心并平分弦所对的弧.

点拨:将命题写成“若若”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性.

(2)能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用,,..

问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?

①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题　 ②“面积相等的三角形全等”的否命题　 ③“若m≤1，则方程x²－2x+m=0有实根”的逆否命题　 ④“若A∩B=B，则AB”的逆否命题

解析: ①的逆命题为“若x、y互为倒数, 则xy=1”, 是真命题;

②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;

③“若m≤1, 则x²-2x+m=0有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;

④“若A∩B=B, 则AB”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.

真命题有①②③

点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.

问题4．你能判断下列命题的真假吗?

(1)已知若

(2)若无实数根。

解：⑴ 因为“已知若”的逆否命题是：

“已知若”

我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。

(2) 因为“若无实数根”的逆否命题是：

“若方程有实数根，”

当方程有实数根时，成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；

点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假(尤其是对否定式语句的命题)--充分利用等价转化的思想方法。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：命题及其相互关系

题型1. 判断命题及真假

[例1] 陈述句“在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？

　[解题思路]：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”

解析：是命题，在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.

[例2] 广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)

下列四个命题中，真命题的个数为(　　 )A

(1)若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；

(2)两条直线可以确定一个平面；

(3)若；

(4)空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。

A.1　　　　　　 B.2　　　　　 　C.3　　　　　　 D.4

[解题思路]：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.

解析：(1)是假命题，两平面也可能相交；(2)是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；(4)是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。

[名师指引]判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假.

[新题导练]

2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.

1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件.

2、 证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.　　　 　　

★ 重 难 点 突 破 ★