题目列表(包括答案和解析)
6.讨论函数的定义域、值域及函数值y随x变化规律,并画出其图象.
[解析] ,函数的定义域,值域.由图象可知,在区间(0,+∞)上函数值y随x的增加而减小.
5.函数的图象只可能是( )
A B C D
[解析]显然,是偶函数,故可排除A和B,又,所以应选择C
综合提高训练:
4.(2007·广东实验中学)设,如果是正比例函数,则m=______,如果是反比例函数,则m=______,如果是幂函数,则m=______
[解析] ,,2;若是正比例函数,则,即;若是反比例函数,则,即;若是幂函数,则,即
3.如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图像,已知分别取四个值,则相应图像依次为:
[解析] ;根据幂函数的图象特征知,当分别取时,相应图像依次为
2.(2007·山东改编)设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为
[解析] 1,3;当及时,的定义域都不是R,当及时,的定义域都都是R,并且都是奇函数
1.在函数中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] B;显然,根据幂函数可知,只有是幂函数
3.求函数的定义域、值域,并判断其单调性
[解析]因为必为奇数,并且
所以函数的定义域为,类比的图象可知,所求函数的值域为,并且在上为增函数
[备选例题]已知函数满足
(1)求的值并求出相应的的解析式;
(2)对于(1)中得到的函数,试判断是否存在,使函数在区间上的值域为?若存在,求出;若不存在,说明理由
[解题思路]利用求,易得的解析式,再利用表达从而求解
[解析](1)因为,所以在第一象限是增函数
故,解得
又,所以或,当或时,
所以
(2)假设存在满足题设,由(1)知,
因为,所以两个最值点只能在端点和顶点处取到
而,所以
,解得,所以存在满足题意
★抢分频道
基础巩固训练:
2.若,则的取值范围是
[解析] ;令,则在上是减函数,故得
,解得
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定义域 |
R |
R |
R |
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奇偶性 |
奇 |
奇 |
奇 |
非奇非偶 |
奇 |
在第Ⅰ象限的增减性 |
在第Ⅰ象限单调递增 |
在第Ⅰ象限单调递增 |
在第Ⅰ象限单调递增 |
在第Ⅰ象限单调递增 |
在第Ⅰ象限单调递减 |
幂函数(R,是常数)的图像在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数(R,是常数)的图像都过点;
②当时函数的图像都过原点;
③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);
④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)
⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)
⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)
★重、难点突破
重点:幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。
难点:综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。
重难点:幂函数性质的拓展
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过点后,越大,图象下落的速度越快。
无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
★热点考点题型探析
考点 幂函数的概念、图象和性质
题型1:利用幂函数的单调性比较大小
[例1](中山市09届月考)已知,试比较的大小;
[解题思路]欲比较这几个数的大小,因为它们的指数相同,应考虑某个幂函数的单调性
[解析] 在上单调递增,又 ∴ .
[名师指引]比较几个数式的大小,是解题过程中常常遇到的知识考点,往往都要用到函数的单调性,我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.
题型2:由幂函数的性质确定解析式
[例2] 已知函数f(x)=x(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域上是偶函数。
(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式。
(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf[f(x)]+(2q-1)f(x)+1,问是否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间(-∞,-4上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数。若存在,请求出来;若不存在,请说明理由。
[解题思路](1)由函数f(x)=x(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数即可知
,又由p∈Z即可确定p的值
(2)根据(1)的结果,利用函数单调性的定义进行探索求解。
[解析] (1)若y=在x∈(0,+∞)上是递增函数,则有α>0。
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴-p2+p+>0 解得:-1<p<3,而p∈Z ∴p=0,1,2
当p=0或2时,有f(x)=不是偶函数,故p=1,此时,f(x)=x2。
(2)设t=x2,由g(x)在(-∞,-4上是减函数,在(-4,0)上是增函数,而t=x2在[16,+∞和(0,16)上都是增函数,得h(t)=-qt2+(2q-1)t+1在(0,16)上是增函数,在[16,+∞上是减函数,从而可得=16,∴q=-
故存在实数q=-,使得g(x)在(-∞,-4上是减函数,且在(-4,0)上是增函数。
[名师指引](1)解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质,依单调性从其指数入手;(2)复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。
[新题导练]
1.(珠海斗门中学09届月考)幂函数①,
②及直线③,④将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”:
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示),
那么幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是( )
A.Ⅳ,Ⅶ ;B. Ⅳ,Ⅷ;C.Ⅲ,Ⅷ;D. Ⅲ,Ⅶ
[解析] D;由于当时,,当时,,故幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ,Ⅶ
一般地,形如(R)的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数
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