11.(2008·海南、宁夏文，18)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.

(1)解　 如图(1)所示.

图(1)

(2)解　 所求多面体体积

V=V_长方体-V_正三棱锥

=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm³).

　(3)证明　 如图(2),在长方体ABCD-A′B′C′D′中,

连接AD′,则AD′∥BC′.

　因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,

所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.

又BC′平面EFG,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图(2)

所以BC′∥面EFG.

10.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.

求证：PQ∥平面BCE.

证明　 方法一　 如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，

又∵PM∥AB∥QN，

∴，，，∴PM　 QN，

∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.

又MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法二　 如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，

∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，

∴=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∵AD∥BK，∴=　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得=，∴PQ∥EK.

又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.

方法三　 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.

∵PM∥BE，PM平面BCE， 即PM∥平面BCE，

∴=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∵AP=DQ，∴PE=BQ，

∴=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得=，∴MQ∥AD，

∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.

又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE， PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

9.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，P是DD₁的中点，设Q是CC₁上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D₁BQ∥平面PAO？

解　 当Q为CC₁的中点时，

平面D₁BQ∥平面PAO.

∵Q为CC₁的中点，P为DD₁的中点，∴QB∥PA.

∵P、O为DD₁、DB的中点，∴D₁B∥PO.

又PO∩PA=P，D₁B∩QB=B，

D₁B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D₁BQ∥平面PAO.

8.如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A₁B₁，

B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上

底面于PQ，Q在CD上，则PQ=　　　　 .

答案　 a

7.考察下列三个命题，在“　　　　　 ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为不同的直线，、为不重合的平面)，则此条件为　　　　　　 .

答案　 l

6.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面，的四个命题：

①若m,l∩=A,点Am，则l与m不共面；

②若m,l是异面直线，l∥,m∥,且n⊥l,n⊥m,则n⊥;

③若l∥,m∥,∥,则l∥m;

④若l,m,l∩m=A,l∥,m∥,则∥.

其中假命题的序号是　　　　　 .

答案　 ③

5.(2008·湖南理，5)设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是　　　　　 (填序号).

①若m∥,n∥,则m∥n，②若m，n,m∥,n∥,则∥

③若⊥，m，则m⊥，④若⊥,m⊥,m,则m∥

答案　 ①②③

4.(2008·海南，宁夏文，12)已知平面⊥平面,∩=l,点A∈,Al,直线AB∥l,直线

AC⊥l,直线m∥,m∥,则下列四种位置关系中,一定成立的是　　 .

①AB∥m　　　　　 ②AC⊥m　　　 ③AB∥　　　　 ④AC⊥

答案　 ①②③

3.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得，都垂直于;②存在平面，使得，都平行于;

③存在直线l,直线m,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥,l∥,m∥,m∥.

其中，可以判定与平行的条件有　　　　 (写出符合题意的序号).

答案　 ②④

2.写出平面∥平面的一个充分条件　　　　　　　　　　　　　　 (写出一个你认为正确的即可).

答案　 存在两条异面直线a,b,a,b,a∥,b∥