题目列表(包括答案和解析)
8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,则a= .
7.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内三点,设平面的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z= .
6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 .
5.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上,则a= .
4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为 .
3.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是 (写出一个即可).
2.已知=(2,4,5),=(3,x,y),若∥,则x= ,y= .
1.若平面、的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则,的位置关系是 (用“平行”,“垂直”,“相交但不垂直”填空).
12.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:
(1)BC1⊥AB1;
(2)BC1∥平面CA1D.
证明 如图所示,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.不妨设AC=2,由于AC=BC=BB1,则A(2,0,2),
B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),
B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,因此⊥,故⊥.
(2)方法一 取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),所以=-·,
又因为ED和BC1不共线,所以ED∥BC1,且DE平面CA1D,BC1平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.
方法二 由于=(2,0,-2),=(1,1,0),若设=x+y,
则得,解得,即=-2,所以,,是共面向量,
又因为BC1平面CA1D,因此BC1∥平面CA1D.
方法三 求出平面CA1D的法向量n,证明向量⊥n.设n=(a,b,1),由于=(2,0,-2),
=(1,1,0)∴,∴∴n=(1,-1,1),又∵=(0,-2,-2),
∴n·=2-2=0,∴⊥n,又∵平面CA1D,∴∥平面CA1D.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面ADE.
(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
不妨设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0,
n1·=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2),
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).∵n1·n2=0,∴n1⊥n2,∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解 由于点M在直线AE上,设==(0,2,1)=(0,2,).
可得M(2,2,),∴=(0,2,-2),∵AD⊥A1M,∴要使A1M⊥平面ADE,
只需A1M⊥AE,∴·=(0,2,-2)·(0,2,1)=5-2=0,解得=.
故当=时,A1M⊥平面ADE.
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