2.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是A₁C₁的中点，则点O到平面ABC₁D₁的距离为　　　　　 .

1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M是AB的中点,则sin〈,〉的值等于　　　 .

12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，==，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.

解　 如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.

===，GE∥AB，且GE=AB=2，

同理，GF∥CD，且GF=CD=1，

在△EGF中，cos∠EGF==-,

∴∠EGF=120°.

由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.

11.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为CC₁、AA₁的中点，画出平面BED₁F　

与平面ABCD的交线.

解　 在平面AA₁D₁D内，延长D₁F，

∵D₁F与DA不平行，

因此D₁F与DA必相交于一点，设为P，

则P∈FD₁，P∈DA.

又∵FD₁平面BED₁F，AD平面ABCD，

∴P∈平面BED₁F，P∈平面ABCD.

又B为平面ABCD与平面BED₁F的公共点，连接PB，

∴PB即为平面BED₁F与平面ABCD的交线.如图所示.

10.定线段AB所在的直线与定平面相交，P为直线AB外的一点，且P不在内，若直线AP、BP与分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.

证明　 设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l∩=O.

由题意可知，AP∩=C，BP∩=D，∴C∈，D∈.

又∵AP∩BP=P,∴AP、BP可确定一平面且C∈，D∈.∴CD=∩.

∵A∈，B∈,∴l,∴O∈.∴O∈∩，即O∈CD.

∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点.

9.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点.

求证：(1)E，C，D₁，F四点共面；(2)CE，D₁F，DA三线共点.

证明 (1)如图所示，连接CD₁，EF，A₁B ∵E、F分别是AB和AA₁的中点，

∴EF∥A₁B且EF=A₁B，又∵A₁D₁ BC,

∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴A₁B∥CD₁，∴EF∥CD₁，

∴EF与CD₁确定一个平面，∴E，F，C，D₁∈，

即E，C，D₁，F四点共面.

(2)由(1)知EF∥CD₁，且EF=CD₁，∴四边形CD₁FE是梯形，

∴CE与D₁F必相交，设交点为P，则P∈CE平面ABCD，

且P∈D₁F平面A₁ADD₁，∴P∈平面ABCD且P∈平面A₁ADD₁.

又平面ABCD∩平面A₁ADD₁=AD，∴P∈AD，∴CE，D₁F，DA三线共点.

8.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面，则a、b在上的射影可能是

①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.

则在上面的结论中，正确结论的编号是　　　　 (写出所有正确结论的编号).

答案　 ①②④

7.如图所示，在三棱锥C-ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，

EF⊥AB，则EF与CD所成的角是　　　　　 .

答案　 30°

6.正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为　　　　　　 .

答案　

5.(2008·辽宁文)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AA₁、CC₁的中点，则在空间中与三条直线A₁D₁、EF、CD都相交的直线有　　　　 条.

答案　 无数