12．已知函数f(x)＝3^x，f(a+2)＝18，g(x)＝λ·3^ax－4^x的定义域为[0,1]．

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

解：法一：(1)由已知得3^a+2＝18⇒3^a＝2⇒a＝log₃2.

(2)此时g(x)＝λ·2^x－4^x，

设0≤x₁<x₂≤1，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g(x₁)－g(x₂)＝(2x₁－2x₂)(λ－2x₂－2x₁)>0恒成立，即λ<2x₂+2x₁恒成立．

由于2x₂+2x₁>2⁰+2⁰＝2，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

法二：(1)同法一．

(2)此时g(x)＝λ·2^x－4^x，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以有g′(x)＝λln2·2^x－ln4·4^x＝ln2[－2·(2^x)²+λ·2^x]≤0成立．

设2^x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u²+λu≤0恒成立．

因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

11．(2011·宁夏银川模拟)若函数y＝a^2x+2a^x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

解：令a^x＝t，∴t>0，则y＝t²+2t－1＝(t+1)²－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，+∞)上是增函数．

①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a^x∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，y_max＝a²+2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．

②若0<a<1，∵x∈[－1,1]，

∴t＝a^x∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，

y_max＝(+1)²－2＝14.

∴a＝或－(舍去)．

综上可得a＝3或.

10．求函数y＝2－的定义域、值域和单调区间．

解：要使函数有意义，

则只需－x²－3x+4≥0，

即x²+3x－4≤0，解得－4≤x≤1.

∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．

令t＝－x²－3x+4，

则t＝－x²－3x+4＝－(x+)²+，

∴当－4≤x≤1时，t_max＝，此时x＝－，

t_min＝0，此时x＝－4或x＝1.

∴0≤t≤.∴0≤≤.

∴函数y＝()的值域为[，1]．

由t＝－x²－3x+4＝－(x+)²+(－4≤x≤1)可知，

当－4≤x≤－时，t是增函数，

当－≤x≤1时，t是减函数．

根据复合函数的单调性知：

y＝()在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．

∴函数的单调增区间是[－，1]，

单调减区间是[－4，－]．

9．已知函数f(x)＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：实数a应满足，

解得7≤a<8.

答案：[7,8)

8．若曲线|y|＝2^x+1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．

曲线|y|＝2^x+1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2^x+1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]

7．函数y＝a^x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．

解析：当a>1时，y＝a^x在[1,2]上单调递增，故a²－a＝，得a＝.当0<a<1时，y＝a^x在[1,2]上单调递减，故a－a²＝，得a＝.故a＝或.

答案：或

6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x²－a^x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　)

A．(0，]∪[2，+∞)　 　　　　　　　　　　　　 B．[，1)∪(1,4]

C．[，1)∪(1,2]　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(0，)∪[4，+∞)

解析：f(x)<⇔x²－a^x<⇔x²－<a^x，考查函数y＝a^x与y＝x²－的图象，

当a>1时，必有a^－1≥，即1<a≤2，

当0<a<1时，必有a≥，即≤a<1，

综上，≤a<1或1<a≤2.

答案：C

5．(2011·成都模拟)已知关于x的方程a()^x－()^x+2＝0在区间[－1,0]上有实数根，则实数a的取值范围是(　)

A．[0，]　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．[－1,0)∪(0，]

C．[－1，]　 　　　　　　　　　　　　　 D．[－1,0]

解析：依题意得a＝－2·2^2x+2^x，令t＝2^x，

则当x∈[－1,0]时，t∈[，1]，

a＝－2t²+t＝－2(t－)²+∈[－1,0]．

答案：D

4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是(　)

A．a>3　 　　　　　　　　　　　　　 B．a≥3

C．a>　 　　　　　　　　　　　　 D．a≥

解析：由题意得：A＝(1,2)，a^x－2^x>1且a>2，由A⊆B知a^x－2^x>1在(1,2)上恒成立，即a^x－2^x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝a^x－2^x－1，则u′(x)＝a^xlna－2^xln2>0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3.

答案：B

3．函数y＝|2^x－1|在区间(k－1，k+1)内不单调，则k的取值范围是(　)

A．(－1，+∞)　 　　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，1)

C．(－1,1)　 　　　　　　　 　　　　　　　 D．(0,2)

解析：由于函数y＝|2^x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k+1)内不单调，所以有k－1<0<k+1，解得－1<k<1.

答案：C