3．函数f(x)＝a^x+log_a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　)

A.　　 　　 B.　　 　　　 C．2　　 　 D．4

答案：B

解析：a＞1时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；

0＜a＜1时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值f(1)、最大值f(0)，据题设有：f(0)+f(1)＝a，即1+a+log_a2＝a，∴a＝.

2．函数f(x)＝的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.

答案：D

解析：1－x(1－x)＝x²－x+1＝(x－)+≥.因此，有0＜≤.所以f(x)的最大值为.

总结评述：二次函数或转化为形如F(x)＝af²(x)+bf(x)+c类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意f(x)的范围．

1．下列函数中，值域为(0，+∞)的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝5　　　　 B．y＝()^1－x

C．y＝－1　 　　　　　　 D．y＝

答案：B

解析：y＝5中，≠0，故y≠1，值域为(0,1)∪(1，+∞)，y＝()^1－x的值域为(0，+∞)，故选B.

总结评述：对于不复杂的函数，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域．

12．(2011·南宁模拟)已知a∈R，b∈R，f(x)为奇函数，且f(2x)＝.

(1)求f(x)的反函数f^－1(x)及其定义域；

(2)设g(x)＝log，若x∈[，]，f^－1(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)由f(2x)＝，得f(x)＝.

∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(0)＝＝0，得a＝1.

又∵f(－1)＝－f(1)，∴b＝1，∴f(x)＝，得f^－1(x)＝log₂.

由此得2^x＝＞0，

∴－1＜y＜1，故反函数f^－1(x)的定义域为(－1,1)．

(2)当x∈[，]时，f^－1(x)≤g(x)恒成立，

∴log₂≤log，即≤()².

由＞0，x∈[，]，

得1+x＞0,1－x＞0，且k＞0，

∴k²≤1－x²，令h(x)＝1－x²，则h(x)_min＝h()＝，∴k²≤，故0＜k≤.

11．(1)已知二次函数f(x)＝ax²+bx+c(a<0)，不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)+6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y+1)，求f(x)．

解：(1)∵不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，

∴x＝1和x＝3是方程ax²+(b+2)x+c＝0(a<0)的两根，

∴，

∴b＝－4a－2，c＝3a，

又方程f(x)+6a＝0有两个相等的实根．

∴Δ＝b²－4a(c+6a)＝0，

∴4(2a+1)²－4a×9a＝0.

∴(5a+1)(1－a)＝0，

∴a＝－或a＝1(舍)．

∴a＝－，b＝－，c＝－，

∴f(x)＝－x²－x－.

(2)令x＝0得f(0－y)＝f(0)－y(－y+1)，

即f(－y)＝1－y(－y+1)，

再令－y＝x，得f(x)＝1－(－x)(x+1)＝1+x(x+1)，

所以f(x)＝x²+x+1.

10．已知f(x)＝x²－1，g(x)＝

(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；

(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．

解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，

∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.

(2)当x>0时，g(x)＝x－1，

故f[g(x)]＝(x－1)²－1＝x²－2x；

当x<0时，g(x)＝2－x，

故f[g(x)]＝(2－x)²－1＝x²－4x+3；

∴f[g(x)]＝

当x>1或x<－1时，f(x)>0，

故g[f(x)]＝f(x)－1＝x²－2；

当－1<x<1时，f(x)<0，

故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x².

∴g[f(x)]＝

9．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.

解析：由f(x+2)＝得f(x+4)＝＝f(x)，

所以f(5)＝f(1)＝－5，

则f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝－.

答案：－

8．如果f(a+b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则+++…+++＝________.

解析：∵f(2)＝f(1+1)＝f(1)·f(1)，

∴＝2，

f(3)＝f(1+2)＝f(1)·f(2)

∴＝f(1)＝2，

……

f(2010)＝f(1+2009)＝f(1)·f(2009)

∴＝f(1)＝2

∴原式＝2×1005＝2010.

答案：2010

7．已知函数f(x)＝，若f(1)+f(a)＝2，则a的值为________．

解析：当a>0时，f(1)+f(a)＝log₂a＝2，

所以a＝4；当a≤0时，方程无解．

答案：4

6．(文)(2011·西宁模拟)设函数f(x)＝的反函数为f^－1(x)，且f^－1()＝a，则f(a+7)等于(　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　 B．－1

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

解析：由于f^－1()＝a，所以f(a)＝.

①当a≤4时，f(a)＝2^a－4＝＝2^－3，

∴a＝1；

②当a＞4时，f(a)＝－log₃(a+1)＝，

∵a＞4，∴－log₃(a+1)＜0，不可能．

综上，当a＝1时，f(a+7)＝f(8)

＝－log₃(8+1)＝－2.

答案：A

(理)(2011·成都模拟)已知函数f(x)＝(m－1)x²－n(x∈[0,1])的反函数为f^－1(x)，且m为函数g(x)＝lnx与函数h(x)＝的交点个数，n＝ (－)，则函数y＝[f^－1(x)]²+的值域是(　)

A．[0,1]　 　　　　　　　　　　　　 B．[1,1+]

C．[－1，]　 　　　　　　 D．{}

解析：函数g(x)＝lnx与函数

h(x)＝的交点个数为2，m＝2，

n＝ (－)

＝ ＝1或－1，当m＝2，n＝1时，函数y＝[f^－1(x)]²+不存在；当m＝2，n＝－1时，函数y＝[f^－1(x)]²+＝x－1+，x＝1时函数值为.

答案：D