3．(2009·临沂模拟)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是

(　)

A．m＞n　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．m＜n

C．m＝n　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．m≤n

答案：D

解析：因为|a|－|b|≤|a－b|，

所以≤1，即m≤1，

又因为|a+b|≤|a|+|b|，

所以≥1，即n≥1，所以m≤1≤n.

2．设xy＜0，x，y∈R，那么下列关系式正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．|x+y|＞|x－y|　 　　　　　　　　　　 B．|x－y|＜|x|+|y|

C．|x+y|＜|x－y|　 　　　　　　　　　　 D．|x－y|≤||x|－|y||

答案：C

解析：方法一：特殊值法

取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2＜0，

这样有|x+y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，

|x|+|y|＝1+2＝3，||x|－|y||＝|1－2|＝1，

∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．

方法二：由xy＜0得x，y异号，

易知|x+y|＜|x－y|，|x－y|＝|x|+|y|，

|x－y|＞||x|－|y||，

∴选项C成立，A、B、D均不成立．

1．a，b∈R，给出四个命题：

①a²<b²的充要条件是|a|<|b|

②a²<b²的充要条件是|a|²<|b|²

③a²<b²的充要条件是a+b与a－b异号

④a²<b²的充要条件是|a|+|b|与|a|－|b|异号

以上四个命题中正确的命题个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．4个　　　　 B．3个　　　　　　　　 C．2个　　　　　　　　 D．1个

答案：A

解析：①依据算术根的意义：

＝|a|＝

有|a|<|b|⇔<(不等式的性质)，即a²<b².

∴|a|<|b|⇔<⇔a²<b².所以正确．

②|a|<|b|⇔|a|²<|b|²(不等式性质)，

∴a²<b²⇔|a|<|b|⇔|a|²<|b|².所以正确．

③a²<b²⇔a²－b²<0⇔(a－b)(a+b)<0

⇔a－b与a+b异号．所以正确．

④|a|²<|b|²⇔|a|²－|b|²<0

⇔(|a|－|b|)(|a|+|b|)<0

⇔|a|－|b|与|a|+|b|异号，

又a²<b²⇔|a|²<|b|²，

∴a²<b²⇔|a|－|b|与|a|+|b|异号．所以也正确．

故以上四个命题都正确，应选A.

22．(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

解析：(1)由题意可知当m＝0时，x＝1(万件)，

∴1＝3－k⇒k＝2.∴x＝3－.

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

∴2010年的利润y＝x·(1.5×)－(8+16x+m)

＝4+8x－m＝4+8(3－)－m

＝－[+(m+1)]+29(m≥0)．

(2)∵m≥0时，+(m+1)≥2＝8，

∴y≤－8+29＝21，当且仅当＝m+1⇒m＝3(万元)时，y_max＝21(万元)．

21．(本小题满分12分)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x+y)－f(y)＝(x+2y+1)x成立，且f(1)＝0.

(1)求f(0)；

(2)求f(x)；

(3)不等式f(x)＞ax－5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围．

解析：(1)令x＝1，y＝0，

得f(1+0)－f(0)＝(1+2×0+1)·1＝2，

∴f(0)＝f(1)－2＝－2.

(2)令y＝0，f(x+0)－f(0)＝(x+2×0+1)·x＝x²+x，

∴f(x)＝x²+x－2.

(3)f(x)＞ax－5化为x²+x－2＞ax－5，

ax＜x²+x+3，∵x∈(0,2)，

∴a＜＝1+x+.

当x∈(0,2)时，1+x+≥1+2，当且仅当x＝，

即x＝时取等号，由∈(0,2)，

得(1+x+)_min＝1+2，

∴a＜1+2.

20．(2009·东营二模)(本小题满分12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)以及任意的x≥0，当甲公司投入x万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．

(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；

(2)设f(x)＝x+10，g(x)＝+20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

解析：(1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．

(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当时，

双方均无失败的风险，

由①②得y≥(+20)+10，即4y－－60≥0，

即(－4)(4+15)≥0.

∵≥0，∴4+15＞0.

∴≥4.∴y≥16.∴x≥+20≥4+20＝24.

∴x_min＝24，y_min＝16.

即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．

19．(2009·崇文)(本小题满分12分)已知一次函数f(x)＝ax－2，(a≠0)．

(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4；

(2)设函数g(x)＝f(sin2x)(－≤x≤)的最大值为4，求实数a的值．

解析：(1)∵a＝3时，f(x)＝3x－2，

∴|f(x)|＜4⇔|3x－2|＜4⇔－4＜3x－2＜4⇔－2＜3x＜6⇔－＜x＜2，

∴不等式的解集为{x|＜x＜2}．

(2)g(x)＝asin2x－2，x∈[－，]

∵x∈[－，]，所以2x∈[－，]

∴－≤sin2x≤1.

当a＞0时，g(x)_max＝a－2＝4，得a＝6；

当a＜0，g(x)_max＝－a－2＝4，得a＝－4.

18．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．

求证：++＞a+b+c.

思路点拨：可用分析法、综合法或作差比较法证明，注意条件a，b，c不全相等的使用．

证明：方法一：(分析法)要证++＞a+b+c，

只要证＞a+b+c.

∵a，b，c＞0，

只要证(bc)²+(ac)²+(ab)²＞abc(a+b+c)，

由公式知(bc)²+(ac)²≥2abc²，

(ac)²+(ab)²≥2a²bc，(bc)²+(ab)²≥2ab²c.

∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：

2[(bc)²+(ac)²+(ab)²]＞2abc²+2a²bc+2ab²c，

即(bc)²+(ac)²+(ab)²＞abc(a+b+c)成立．

∴++＞a+b+c成立．

方法二：(综合法)∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴+≥2＝2c，

+≥2＝2b，

+≥2＝2a，

又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，

三式相加得++＞a+b+c.

方法三：(作差比较法)++－a－b－c

＝

＝·＞0(a，b，c不全相等)，

即++－a－b－c＞0，

∴++＞a+b+c.

17．(2009·湖北襄樊调研测试)(本小题满分10分)已知关于x的不等式＜0的解集为M.

(1)当a＝4时，求集合M；

(2)若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

解析：(1)a＝4时，不等式化为＜0，

解得M＝(－∞，－2)∪(，2)．

(2)a≠25时，由得

∴a∈[1，)∪(9,25)；

当a＝25时，不等式为＜0⇒M＝(－∞，－5)∪(，5)．

满足3∈M且5∉M，∴a＝25满足条件．

综上所述，得a的取值范围是[1，)∪(9,25]．