10．如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，CC₁中点为E，则AE与BC₁所在的两条直线的位置关系是________，它们所成的角的大小为________．

答案：异面　

解析：将所成角转化到△D₁AE中用余弦定理来解．

设AB＝2，在△AD₁E中，AD₁＝2，D₁E＝，AE＝3，

cos∠D₁AE＝＝＝，

∴∠D₁AE＝.

9．(2009·青岛质检)不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点，最多能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．

答案：3　2　1

解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图(1)；三条直线相交于两点，最多可确定2个平面，如图(2)；三条直线相交于三点，最多可确定1个平面，如图(3)．

8．(2009·江西，9)如图所示，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

答案：C

解析：如右图∵MN∥PQ，

∴MN∥面ABC，

∴MN∥AC.同理BD∥QM.

∵MN⊥QM，

∴AC⊥BD，

∴A是对的；

∵AC∥MN，∴AC∥面PQMN，故B对；

∵BD∥QM，∴PM与BD所成的角即为∠PMQ，

∴PM与BD成45°角，故D对．故选C.

7．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E₁，F₁分别是线段A₁B₁，A₁C₁的中点，则直线BE₁与AF₁所成角的余弦值是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　 B.　　　 C.　 　　　 D.

答案：A

解析：设棱长为1，取BC中点，连结OF₁，OA，则∠AF₁O等于BE₁与AF₁所成的角，可求得AO＝OF₁，

∴cos∠AF₁O＝＝＝，∴选A.

6．空间四边形ABCD，M，N分别是AB、CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　)

A．1＜MN＜5　 　　B．2＜MN＜10 　　C．1≤MN≤5　 　D．2＜MN＜5

答案：A

解析：取AD中点P，△PMN中，PM＝3，PN＝2，由三角形三边大小关系得：1＜MN＜5.故选A.

5．设a、b是异面直线，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．必然存在惟一的一个平面同时平行a、b

B．必然存在惟一的一个平面同时垂直a、b

C．过a存在惟一的一个平面平行于b

D．过a存在惟一的一个平面垂直于b

答案：C

解析：A错，可以存在无数个平面同时平行于a，b.B错，不一定存在平面和a，b同时垂直．D错，过a也不一定存在平面垂直于b.综上所述C正确．

总结评述：本题考查立体几何中线面平行、垂直关系，培养学生空间想象能力．

4．(2009·山东泰安一模)设A、B、C、D是空间中四个不同的点，在下列命题中，不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC

答案：D

解析：若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，那么AD与BC共面，所以A正确；若AC与BD是异面直线，那么A、B、C、D四点不共面，那么AD与BC是异面直线，所以B正确；若AB＝AC，DB＝DC且四点共面，显然AD⊥BC，若AB＝AC，DB＝DC且四点不共面，如图，空间四边形中，取BC中点M，连接AM、DM，显然BC⊥平面AMD，那么AD⊥BC，所以C正确．综上可知选D.

3．若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且R∉m，PQ∩m＝M，过P、Q、R三点确定一个平面γ，则β∩γ是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．直线QR　 　　　 B．直线PR　　 C．直线RM　 　 D．以上均不正确

答案：C

解析：∵PQ∩m＝M，m⊂β，∴M∈β.

又M∈平面PQR，即M∈γ，

故M是β与γ的公共点．

又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，

∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.

2．(2009·南京五校诊断卷)已知四个命题：(1)三点确定一个平面；(2)若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；(3)两两相交的三条直线在同一平面内；(4)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，其中正确命题的个数是(　)

A．0个　 　　　　　　 B．1个　 　　　　　　 C．2个　 　　　　　　 D．3个

答案：A

解析：根据平面的基本性质进行判断．(1)不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面．(2)不正确，当A、B、C三点共线时，P、A、B、C四点共面．(3)不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直的三条直线就不共面．(4)不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形．故选A.

1．(教材改编题)三个平面两两相交，它们的交线条数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　)

A．1条　B．2条　　　　 C．3条　 　 　　D．1条或3条

答案：D

解析：如图(平面图)．