8．如图，α∥β，AB和AC是夹在平面α与β之间的两条线段，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面α所成的角为30°，那么线段AC的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(，)　　　　　　　　　 B．[1，+∞)

C．(1，)　　　　　　　　　 　　 　D．[，+∞)

答案：D

解析：作AD⊥β，连结BD、CD、BC.因为AB>BD，AC>DC，AB²+AC²＝BC²，所以cos∠BDC＝<＝0(*)，

因为AD⊥β，所以∠ABD是AB和β所成的角，∠ABD＝30°，依题意：AB＝2，AD＝1，DC＝，BC＝，BD＝，由(*)式可得：－1≤<0，所以0<≤，所以AC²－1≥，即AC≥；AC≤－(舍去)，所以AC的取值范围是[，+∞)．

7．(2009·广东重点中学)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．60 　　　　　 　B．48 　　　　　　　 　C．36　　　　　　　　 　 D．24

答案：B

解析：在长方体中，含四个顶点的平面有6个表面和6个对角面，共12个平面，而每个表面能构成6个“平行线面组”，每个对角面能构成2个“平行线面组”，则所有的“平行线面组”的个数有6×6+6×2＝48，故选B.

6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．①、③　　B．②、③　　C．①、④　　D．②、④

答案：C

解析：如①图中，连结AC，则平面ACB∥平面MNP，又AB⊂面ACB，∴AB∥面MNP.

如②图中，平面ACD∥平面MNP，又AB与面ACD相交，所以AB与面MNP也相交．

如③图中，因为AB与平面NPCB相交，所以AB与平面MNP相交．

如④图中，AB∥CD，CD∥NP，那么AB∥NP，AB∥平面MNP.

综上所述，正确答案为①、④.故选C.

5．(2009·河南调考)已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中　　 (　)

A．不一定存在与a平行的直线　　 B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线　　 D．存在唯一一条与a平行的直线

答案：D

解析：设过a与B的平面与β的交线为b，由面面平行的性质得b与a平行，故选D.

4．(2009·山东潍坊一模)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β　　　 B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

C．若m∥n，m∥α，则n∥α　　 D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β

答案：D

解析：选项A中，γ与β可能垂直，如墙角的三面墙，所以A不正确；选项B中，α与β可能相交，所以B不正确；选项C中，可能有n∥α，可能有n⊂α，所以C不正确；D正确．

3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．l∥α　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．l⊥α

C．l与α相交但不垂直　 　　　　　　　　　　　　 D．l∥α或l⊂α

答案：D

解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上的所有点与α的距离都是0；l⊥α时，直线l上只能有两点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．

2．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a⊥b，b⊥α　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a∥β，β∥α

C．b⊂α，a∥b 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　D．a∥b，b∥α，a⊄α

答案：D

解析：对于A，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a在α内，A不合题意；对于B，若a∥β，β∥α，则a∥α或a在α内，B不合题意；对于C，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a在α内，C不合题意；故选D.

1．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l₁，l₂是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．m∥β且l₁∥α　　　　　　　　　　　 B．m∥l₁且n∥l₂

C．m∥β且n∥β 　　　　　　　　　　　　　　 　　D．m∥β且n∥l₂

答案：B

解析：∵m∥l₁，且n∥l₂，又l₁与l₂是平面β内的两条相交直线，

∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l₁且n∥l₂，可能异面．

故选B.

16．(2009·浙江)如图所示，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

命题意图：本题主要考查空间线线、线面、面面的位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．

解答：解法一：(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．

由题意，得G(0,4,0)．

因为O＝(8,0,0)，O＝(0，－4,3)，

所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)，

由F＝(－4,4，－3)，得n·F＝0.

又直线FG不在平面BOE内，

所以FG∥平面BOE.

(2)设点M的坐标为(x₀，y_0,0)，

则F＝(x₀－4，y₀，－3)．

因为FM⊥平面BOE，所以F∥n，

因此x₀＝4，y₀＝－，

即点M的坐标是(4，－，0)．

在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.

解法二：(1)证明：如图，取PE的中点为H，连结HG、HF.

因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，

所以HG∥OE，HF∥EB.

因此平面FGH∥平面BOE.

因为FG在平面FGH内，

所以FG∥平面BOE.

(2)在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q.连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M.

由题意，得

OB⊥平面PAC，

所以OB⊥PN，

又因为PN⊥OE，

所以PN⊥平面BOE.

因此FM⊥平面BOE.

在Rt△OAP中，

OE＝PA＝5，PQ＝，

cos∠NPO＝＝，

ON＝OP·tan∠NPO＝<OA，

所以点N在线段OA上．

因为F是PB的中点，所以M是BN的中点．

因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为

OB＝4，ON＝.

15．如图所示，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁上的动点．

(1)求证：A₁E⊥BD；

(2)当点E恰为棱CC₁上的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD；

(3)在棱CC₁上是否存在一个点E，使二面角A₁－BD－E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

解析：(1)证明：连结AC，则BD⊥AC

又∵EC⊥平面ABCD，

AA₁⊥平面ABCD，

∴AC是A₁E在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理知：A₁E⊥BD.

(2)证明：设AC∩BD＝O，连结A₁O、EO.

∵A₁D＝A₁B，∴A₁O⊥BD，同理可证EO⊥BD，

∴∠A₁OE是二面角A₁－BD－E的平面角．

设正方体的棱长为2a，由平面几何知识，得

A₁O＝a，EO＝a，A₁E＝3a，

∴A₁E²＝A₁O²+EO²，

∴∠A₁OE＝90°，

即：平面A₁BD⊥平面EBD.

(3)在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，假设棱CC₁上存在点E，使二面角A₁－BD－E的大小为45°，

由(2)知∠A₁OE＝45°.

设正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，EC＝x，

由平面几何知识，得：EO＝，A₁O＝a，

A₁E＝，

∴在△A₁OE中，由余弦定理得：

A₁E²＝A₁O²+EO²－2A₁O·EO·cos∠A₁OE

即：x²－8ax－2a²＝0(0≤x≤2a)，解得：x＝(4±3)a.

∵(4+3)a>2a，(4－3)a<0，

∴棱CC₁上不存在满足条件的点E.