8.已知直线经过点,分别交轴，轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求

△AOB的面积最小时，直线的方程；

[解析] 设直线的方程为,

令,令,,

,

当且仅当，即k=±4时等号成立，但k<0,故直线的方程为：

考点3 对称问题

题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程

[例5 ] [例5 ]已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1，-2)，求：

(1)点A关于直线l的对称点的坐标；

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线方程；

(3)直线l关于点A(-1，-2)对称的直线的方程；

[解题思路]：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决；

[解析](1)设点A关于l的对称点是，

解得

(2)设点是直线m上任意一点，关于直线的对称点为

解得：

在直线上，

化简得：

(3)设点是直线上任意一点，点关于点A(-1，-2)的对称点为，

则，解得

因点在直线上，，

化简得：

[名师指引](1)要抓住两点关于直线对称的特征来列式；

(2)点对称是其它对称问题(曲线的对称等)的基础，务必重点掌握；

题型2：利用对称知识解决有关问题

[例6 ] [2008·深一模] 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C． 　　　　　　 D．

[解题思路]：利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度

[解析] 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长

[名师指引]本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。

[新题导练]

7.已知点A(3，4)

(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：　　　　　　　　　　　　 　；

(2)经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为　　　　　　　　 ：

(3)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为：　　　　　　　 ；

(4)经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为：　　　　　 ；

[解析](1)4x－3y＝0或x+y－7＝0

　[当直线经过原点时，方程为4x－3y＝0，当直线不经过原点时，设方程为，代入点A的坐标得直线方程x+y－7＝0]

(2)2x－y－2＝0或8x－9y+12＝0；[设直线方程为，由和求得的值]

(3)x－y+1＝0或x+y－7＝0；[斜率为1或-1，由点斜式易得]

(4)x+2y－11＝0或4x－3y＝0；[当直线经过原点时，方程为4x－3y＝0，当直线不经过原点时，设直线方程为，由和求得的值]

6.已知点A(-2，3)，B(3，2)，P(0，-2)，过P点的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的变化范围;

[解析] ,,画出图形，数形结合可得结果

考点2 求直线方程

题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程

[例3 ] 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程.　

[解题思路]从确定直线AB, AC 的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0,

直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成角，(或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的倍)

解法1:由条件知直线AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,

把A(1, –1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0,

，设B(x,y),则，

解得或，所以直线AB的方程为或

解法2: 直线AC的斜率为，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0

考虑直线AB, AC的夹角为，设直线AB, AC的方向向量分别为

则，解得或，所以直线AB的方程为或

[名师指引]求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解

　[例4] 过点P(0，1)作直线l，使它被两直线l₁:2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.

[解题思路1]：设出直线l的点斜式方程，分别与直线l_1，l₂建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l的方程；

解析1：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1

联立解得交点坐标是

联立解得交点坐标是

而点P(0，1)是AB的中点，∴，解得k=-，

故所求的直线方程为： x+4y-4=0；

[解题思路2]：设出l,l₁的交点A坐标(x₁,y₁)，通过中点坐标公式求出l与l₂的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l₁， l₂的方程,联立方程组进行求解;

解析2：设直线l与已知l₁， l₂的交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

∵P是AB的中点

∴即带入l₂的方程的，

得(-x₁)-3(2-y₁)+10=0,即x₁-3y₁-4=0

联立解得A(4,0)

故所求的直线方程为：，即x+4y-4=0.

[名师指引](1)解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量

(2)中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求”

[新题导练]

5.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域(含边界)上的点，则的取值范围是　　　　　　　

[解析] ：把看作区域上的点与点(-1，0)连线的斜率,结合图形可得结果为

4. 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2

连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为　　　　　　

[解析] 如图，当从－2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A()的面积之比为，而区域A的面积为2，故所求的面积为

3. (华南师大附中2009届高三综合测试(一))已知直线(t为参数)，则下列说法错误的是　　 　　 (　)

　　 A．直线的倾斜角为　　　　　 B．直线必经过点

　　 C．直线不经过第二象限　 　　　 D．当t=1时，直线上对应点到点(1,2)的距离为

[解析]D. 将直线方程化为，直线的斜率为，直线的倾斜角为，将点代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限

2.(广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试)若函数f(x)=log₂(x+1)且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是

A、＞＞　　　 B、＞＞

C、＞＞ D、＞＞

[解析]B

把、、分别看作函数f(x)=log₂(x+1)图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案

1. 下列多组点中，三点共线的是(　　 )

A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)　　　　 　 B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)

C.(1,0),(0,-),(7，2)　　　　　　　 D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)

[解析]C.　 由K_AB=K_BC可得

3.几种特殊直线的方程:

①过点垂直于x轴的直线方程为x=a;过垂直于y轴的直线方程为y=b

②已知直线的纵截距为,可设其方程为;

③已知直线的横截距为,可设其方程为;

④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx

★重难点突破★

重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程

难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用

重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程

(1)倾斜角与斜率的对应关系

　 涉及这类问题的题型一般有：(1)已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)(2)已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：

问题1：直线的倾斜角是

A.　　　　　 B. 　　C. 　　　D.

点拨:转化为: 已知,求 ,答案: C

问题2: 求直线的倾斜角的取值范围

点拨: 要从和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，

①当时,,随的增大而增大;

②当时,,随的增大而增大.

本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.

，故：

当时，直线的倾斜角α满足：

当时，直线的倾斜角α满足

所以，直线的倾斜角的范围：和

(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置

问题3：已知函数，当，方程 表示的直线是

点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得,从而斜率,截距,故选C

(3)选择恰当的形式求直线方程

问题4:过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，求直线的方程。

点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示,本题用点斜式设出方程最简便。

解：设直线的方程为,,,,

,当且仅当，即k=±1时等号成立，但k<0,故直线的方程为：x+y+3=0；

(4)设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：

问题5:求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程。

点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。

解：当直线过原点时,方程为;当直线不经过原点时,设方程为,把代入得,

综上,所求方程为或

★热点考点题型探析★

考点1 直线的倾斜角和斜率

题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)

[例1 ]已知经过的直线的倾斜角为，且，试求实数的取值范围。

[解题思路]由倾斜角的范围得出斜率的范围,从而求出参数的取值范围.

[解析]，

或，解得：

的取值范围是

[名师指引]根据正切函数在上的单调性,要分;三种情况讨论,特别注意时容易遗漏.

题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交

[例2 ]已知直线l:y=kx-2和两点P(1，2)、Q(-4，1),若l与线段PQ相交，求k的取值范围；

[解题思路]用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围

　[解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点(0，-2)，

∵　 　　　

∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围

是k≥4和k≤-3/4

[名师指引](1)用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别(2)在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有角,若含有,则斜率的范围是,若不含有,则斜率的范围是(分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率)

[新题导练]

2.直线方程的五种形式:

点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线

斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线

两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线

截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.

一般式方程为 .