6、0能被任何非零整数整数，能整除任何整数。

　 要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。

经典例题：

例6、能被11整除的最小九位数是多少？

　 解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。

例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。

　 　解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为，要使为4的倍数，且要最大，故。 要能被9整除，能被9整除，故

例8、两个三位的和能被37整除，证明：六位数也能被37整除。(第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)

证明：，　

　 又

　 而，

例9、已知一个七位自然数是99的倍数(其中是0到9中的某个数字)，试求的值，简写出求解过程。(第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)

题难：分析是99的倍数，而99，故分别是9和11的倍数

由被9，11数整除的数的特点而解此题。

解：，

是9的倍数，

即(为自然数) ，

。，或

或

，

即　 　　故是11的倍数

又，即

　 同奇偶，

　或 (不合题意，舍去)

备选题：

类：

5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。

4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。

3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。

基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除

2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。

　基本知识：

关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。

关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。

十进制整数的表示方法

正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示,四位数1254可以写成,同样地用字母表示的两位数,三位数, n 位整数表示为，(其中a_i是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a_n)并且

经典例题：

例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是(　　 )

1995　　　　 1683　　　　　 1579　　　　　 1401

解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 　

例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去，仍得原数，这个两位数是(　　 )

26　　　　　 28　　　　　　 36　　　　　　 38

解：设这个两位数为，由题意，得，

　 即 　　由于为偶数，必须为偶数，排除又由于是7的倍数，故选

(此题也可以直接来解是7的倍数，故有返回有)

例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是。(91年“缙云杯”初中数学邀请赛)

解：设这个两位数为，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得，，又由于后有进位，同时对应的分别为6与5，这两个数为68或59。

例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是。

(91年南昌市初中数学竞赛题)

解：四个数位上的数字之和最多不会超过36，这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为，，整理得，又且为整数，这个四位数为1972。

例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为(如三位数234，则)，求的最大值和最小值。

解：设这个三位数，，

显然，当其值为0时，即时，最大，其值为，当最大时，最小，即时，最小为

14.　 .

原分数是可约分数,也应是可约分数,推知a最小是11.

13.　 设所求的分数为,(m,n)=1,n<15.

因为-=.

由题目要求,取m、n使右边式子大于0,且为最小,若5m-2n=1,则m=当n<15时,使m为整数的最大整数n是12,此时,m=5,差为.

若5m-2n¹1,则.故此大并且最接近的是.

12.　 原式=

　　　 =+

　　　 =

11.　 注意到1997是质数,其约数为1和1997.

.

所以A=1997´1998,B=1998.故A¸B=1997.