13.　 我们先审清题,题目要求我们只能改动一个符号.

对于(1)式,我们不妨先算一下等号左边的式子等于多少.1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.和100还相差55.所以,我们应尽量使等号左边的式子大些.我们先把8和9之间的“+”号变成乘号.这样,使原式左边的数值增加了55.即8´9=72.8+9=17,72-17=55.这样,则使等式成立.

对于(2)式,由于式子中等号左边的数较多,所以我们不妨先用等差数列求和公式先算一算它们的数值是多少

1+2+3+4+5+6+…+19+20=(1+20)´20¸2=21´20¸2=210

12.　 (1)1　 23　 4　 56　 7　 8　 9=100

　　 (2)1　 23　 4　 5　 6　 78　 9=100

这两道题最后的得数要求都较大,如用逆推法,则较为麻烦.我们不妨用凑数法更简单些.

对于(1)式,我们发现,题中有两个两位数,即23和56.如这两个数相加,其和为79,即23+56=79,而100-79=21,问题就转化成用1、4、7、8、9这五个数字凑出一个21即可,不难发现,我们用下列方法

9+8+7-4+1=21

就可以凑出21来.这样,问题便解决了.

对于(2)式,我们仍采用凑数法更简单一些,由于最后要求的得数仍然为100,而题目中仍有两个两位数,即23和78,我们不妨用23+78=101,超过100,且仅比100多1,所以,我们争取用1、4、5、6、9凑出一个比0小1的数.不难发现,如果用　 1+5+6-4-9

它的计算结果则比0小1,用这个结果再加上101,则能保证答案为100,问题得解.

　 由于　　 本身把数字就隔开了,所以我们在考虑问题是不妨打乱它原来的排列顺序想问题更容易些.

解:(1)1　 23　 4　 56　 7　 8　 9=100

　 (1)1　 23　 4　 5　 6　 78　 9=100

11.　 12+3+45+6+7+8+9=90

首先,我们应审清题,题目只要求我们添加号或减号.因此,用凑数法更为合适.

由于式中不能由几个数一下子凑90,否则其余的数再加上就超过结果了.试验可知,用12与45相加凑出57,再把其余数相加即为90.这种方法只用了加号,如还可用减号,我们发现,12+67=79.再凑出一个11即可.我们又发现,如用8+9+3-4-5=11正好凑出一个11.问题得解: 12+3+45+6+7+8+9=90

10.　 (1+2´3+4´5+6)´7+8´9=303

此题我们可采用试验的方法找出答案.分析时先假设出括号的位置,然后对结果进行逆运算,一步步把数字缩小,逐步推测括号应加在哪里.

如果假设括号如下面那样:

(1+2´3+4´5+6´7+8)´9=303

那么根据乘除互为逆运算,则有:1+2´3+4´5+6´7+8=3039

等号前运算的结果一定是整数,而等号后面的303不能被9整除,所以等式不成立,假设错误.

如果假设括号如下面那样:

(1+2´3+4´5+6´7)+8´9=303

显然,这个括号在运算过程中没起作用,因为(1+2´3+4´5+6´7)+8´9=1+2´3+4´5+6´7+8´9=141,而等式的后面是303,所以假设括号在这个位置上也是不对的.

如果假设括号如下面那样:

(1+2´3+4´5+6)´7+8´9=303

根据逆运算关系,上面的等式变成:

1+2´3+4´5+6=(303-8´9)7

等号的前面是1+2´3+4´5+6=33.等号后面是(303-72)¸7=231¸7=33,两边恰好相等,说明此种假设成立.

解: (1+2´3+4´5+6)´7+8´9=303

9.　 1´(2+3)´(4+5)´6+7´8=326

　　　 或(1+2+3)´(4+5)´6+7´8=326

　　 我们可先计算一下算式等号左边实际大小:

　1´2+3´4+5´6+7´8=100,而等号右边要求的值为326,相差较大.显然,应使等号左边的值变大,试验一下,变化最大的要加在8前面了.如:

5´(6+7)´8

可这样一下子就超过326了.不妨改换一下:

(5´6+7)´8=296

剩下1´2+3´4最大变成20,又差了10.

再换一下5´(6+7´8)=310,1´2+3´4变不成16,看来括号加在8之前是不行的.就是说7´8不应变动,即要求:

1´2+3´4+5´6=326-56=270,类似刚才的分析,使1´2+3´4+5´6的值大一些,可把括号加在6之前,即:(4+5)´6=54,尚比较小,不妨把1´2+3的值尽可能变大,即1´(2+3)=5,而5´54=270.正好成立.当然,我们也可象(1´2+3)这样加括号,使1´2+3的值为5,此题得解.

解: 1´(2+3)´(4+5)´6+7´8=326或(1´2+3)´(4+5)´6+7´8=326

8.　 (1)19971997=1

　 　(2)1+(9-9)´7+1+(9-9)´7=2

　　 (3)1+9¸9+7+1+9-9-7=3

　　 (4)1+9¸9+7+1+9¸9-7=4

　　 (5)[19+9+7+1´(9-9)]¸7=5

我们发现,这5道题等号右边的数都较小,所以我们可采用逆推的方法.

对于(1)式,结果要求为1,用逆推方法也可以很快完成.我们可把式子中最前面的1留下,则只要把9971997=0成立即可,显然:(9-9)´7´1´9´9´7=0.问题得解.聪明的同学可能一下就想到:

1997¸1997=1

问题解决的更快了.

对于(2)式,计算结果为2,那么我们不妨借助(1)式的某些思考方法,我们可把式子中的两个1加起来便等于2了,下面的任务是把:

997 997变成0,显然

(9-9)´7+(9-9)´7=0.问题得解.

对于(3)(4)(5)式我们仍可采用同样的方法,方法有多种,这时只列一种.

解:

　　 (1)19971997=1

　　 (2)1+(9-9)´7+1+(9-9)´7=2

　　 (3)1+9¸9+7+1+9-9-7=3

　　 (4)1+9¸9+7+1+9¸9-7=4

　　 (5)[19+9+7+1´(9-9)]¸7=5

7.　 (1)(5+7)´8+12 ¸(4-2)=102

　　 (2)[(5+7)´8+12]¸4-2=25

　　 (3)(5+7)´(8+12)¸(4-2)=120

首先我们应审清题目要求,只要求填括号,括号用来表示四则运算中需要先算的部分,而四则运算中,规定无括号情况下“先乘除后加减”,所以添加括号时,应着重在含有加减运算符号的各数之间考虑.

对于(1)式,由于结果较大,所以要尽量扩大被乘数、乘数或被除数,也可缩小除数.因此,先考虑把5+7括起来,增大被乘数.式子成为(5+7)´8+12¸(4-2)=102,而(5+7)´8=96所以只要让12¸4-2=6,因此将4-2括起来缩小除数达到目的.

即:(5+7)´8+12¸(4-2)=102

对于(2)式用逆推法,用5+7´8+12¸4凑27,再考虑用5+7´8+12凑27´4=108.最后,只需用5+7´8凑108-12=96.显然(5+7)´8=96.得解.

对于(3)式思路同(1)式,把5+7、8+12括起来,增加被乘数和乘数,同时也增加被除数,再把4、2括起,缩小除数.问题解决.

解:

(1)(5+7)´8+12¸(4-2)=102

(2)[(5+7)´8+12]¸4-2=25

(3)(5+7)´(8+12)¸(4-2)=120

6.　　　　 12+345´6-78-9=1995.

这里我们仍选中一些数经某种运算后凑出与1995最为接近的数来,经试验,发现345´6=2070,它比1995大75,所以再用剩下的1、2、7、8、9凑出75即可.这里,我们如把8、9组成数89,则它比75大12,再用1、2、7凑出12,不好凑.所以,我们可把7、8组成78,它比75大3,再用1、2、9经一定运算后凑出3来还是较容易的,如12-9=3.得答案12+345´6-78-9=1995

5.　 (1)44´44+44+4+4+4¸4+4¸4+4¸4+4-4=1991

　　 (2)4444¸4+444´(4+4)¸4-(4+4)¸4+4-4=1997

如果此题采用逆推法,则因数字多而且相当麻烦,所以我们采用凑数法.

　 从(1)式可看出,我们可先用六个4凑出1980.它比1991小11,再用后十个4凑出11来则较容易,用六个4凑出1980较容易.

如:44´44+44=1980,而用剩下的十个4凑出11较简单.

如:4+4+4¸4+4¸4+4¸4+4-4=11.于是问题可解决.

　 对于(2)式我们仍可采用上面的方法,但这里想介绍另一种思路.题目要求我们凑出1997.而我们用五个4便较容易凑出1111.

如:4444¸4=1111.再用六个4凑出888,也较容易

如:444´(4+4)¸4=888而1111+888=1999和1997只相差2.下面的问题只需用剩下的五个4凑出2即可.不难得出:

(4+4)¸4+4-4=2于是问题得到解决,同学们可以比较一下,对于(1)(2)两题两种不同的解法哪种在什么情况下更简单.

解:(1)44´44+44+4+4+4¸4+4¸4+4¸4+4-4=1991

　 (2)4444¸4+444´(4+4)¸4-(4+4)¸4+4-4=1997

4. (1)(1+2+3+4)¸5+6-7=1

　 (2)(1´2´3-4+5-6+7)¸8=1

若(1)式7的前面添“-”号,则式子变成:

　 1 2 3 4 5 6=8

若在6的前面添“+”号,则上式成为:

　 1 2 3 4 5=2

若在5的前面添“”号,则上式变成:

　 1 2 3 4=10

显然:1+2+3+4=10. 问题得解.

　 若在(2)式8的前面添“¸”号,则式子变成:

　 1 2 3 4 5 6 7=8

若在7的前面添“+”号,则式子成为:

　 1 2 3 4 5 6=1

若在6的前面添“-”号,则式子成为:

　 　1 2 3 4 5=7

若在5前面添“+”号,则式子成为:

　 1 2 3 4=2.显然: 123-4=2问题得解.

说明:上面的思路只是其中的一种思考方法.事实上,在每个数字前添运算符号时,“+、-、´、¸”都可以试验,从而确定答案,且答案不唯一.

解: (1)(1+2+3+4)¸5+6-7=1

　　 (2)(1´2´3-4+5-6+7)¸8=1