3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是(　　　 )

A、 a∥d　　 B 、b⊥d　　 C、a⊥d　　 D、b∥c

2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD, 则图中与∠1相等的角共有(　 )个

A　 6个　　 B .5个　　 C .4个　　 D.2个

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的(　 )

A 南偏西50度方向； B南偏西40度方向 ；

C 北偏东50度方向 ； D北偏东40度方向

5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，

且∠AOC=68°，则∠BOE=　　　　　　　　

4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________ 。

3. 如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,

则∠AEB+∠CED=　　　 。

2. 如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，

　∠ABC＝50°则∠A　　　 度，∠BDC＝　 　　度。

1.完成下列推理过程

①∵∠3= ∠4(已知)，

__∥___(　　　　　　　　　　　　　　 )

②∵∠5= ∠DAB(已知)，

∴____∥______(　　　　　　　　　　　　 )

③∵∠CDA + 　　　=180°( 已知 )，

∴AD∥BC(　　　　　　　　　　　　 )

1.判定与性质

例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。　　　　　　(　　)

2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。　　　(　　)

3)两直线平行，同旁内角相等。　　　　　　(　　)

4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。　　　(　　)

答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。

分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1(两直线平行，内错角相等)。

　　　 ∵AB∥CD(已知)，

　　　 又∵EF∥AB(已作)，

　　　　 ∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　 　　∴∠D=∠2(两直线平行，内错角相等)。

　　　 又∵∠BED=∠1+∠2，

　　　　 ∴∠BED=∠B+∠D(等量代换)。

变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-(∠B+∠D)。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°(两直线平行，同旁内角互补)。

　 　　∵AB∥CD(已知)，

　　　 又∵EF∥AB(已作)，

　　　　 ∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　　　 ∴∠D+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)。

　　　　 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°(等式的性质)。

　　　 又∵∠BED=∠1+∠2，

　　　　 ∴∠B+∠D+∠BED=360°(等量代换)。

　　　　 ∴∠BED==360°-(∠B+∠D)(等式的性质)。

变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B(两直线平行，内错角相等)。

　　　 ∵AB∥CD(已知)，

　　　 又∵EF∥AB(已作)，

　　　　 ∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　　　 ∴∠FED=∠D(两直线平行，内错角相等)。

　　　　 ∵∠BED=∠FED-∠FEB，

　　　　 ∴∠BED=∠D-∠B(等量代换)。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。

分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)。

　　　 ∵AB∥CD(已知)，

　　　 又∵EF∥AB(已作)，

　　　　 ∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　　　 ∴∠FED+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)。

　　　　 ∴∠1+∠2+∠D=180°。

　　　　 ∴∠1+∠2+∠D-(∠1+∠B)=180°-180°(等式的性质)。

　　　　 ∴∠2=∠B-∠D(等式的性质)。

　　　　 即∠BED=∠B-∠D。

例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。

证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1(两直线平行，内错角相等)。

　　 过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4(两直线平行，内错角相等)。

　　　 ∵FG∥AB(已作)，AB∥CD(已知)，

　　　 ∴FG∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　　 又∵EH∥CD (已知)，

　　 ∴FG∥EH(平行于同一直线的两条直线互相平行)。

　　　　 ∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)。

　　　　 ∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)

　　　　 即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。

　　　 ∵AB∥CD(已知)，

　∴∠1=∠ABF(两直线平行，内错角相等)。

　 又∵∠ABF=∠DCE(已知)，

　 ∴∠1=∠DCE(等量代换)。

　 ∴BG∥EC(同位角相等，两直线平行)。

　 ∴∠BFE=∠FEC(两直线平行，内错角相等)。

如果延长CE、AB相交于H点(如图11)，也可用同样的方法证明(过程略)。

证法三：(如图12)连结BC。

　　　　 ∵AB∥CD(已知)，

　　　 ∴∠ABC=∠BCD(两直线平行，内错角相等)。

　　　 又∵∠ABF=∠DCE(已知)，

　　　 ∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE(等式的性质)。

　　　 即∠FBC=∠BCE。

　　　 ∴BF∥EC(内错角相等，两直线平行)。

　　　 ∴∠BFE=∠FEC(两直线平行，内错角相等)。

强化训练

2.知识要点

⑴垂直：两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足。

⑵在同一平面内，经过直线外(上)一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离。

⑶

两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角。

直线m截直线a,b成如图所示的8个角，在图中：

同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；

内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；

同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5。

⑷.平行线：在同一平面内不相交的两条直线。

平行公理 经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑸.平行线的识别方法：

同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行。

另外，平行于同一直线的两条直线互相平行。

垂直于同一直线的两条直线互相平行。

⑹.平行线的特征:

两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。

典型例题