11、如图在∠AOB内有一定点P。试在角的两边OA、OB上各找个一点M、N使三角形PMN的周长最短，(保留找点时所做的辅助线)并作简单说明。

解：如图所示，做出P点关于OA的对称点P′，做出P点关于OB的对称点P″，连接P′P″，分别交OA、OB。则这两个交点即为所求M、N。

10、当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。

解：当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；

当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。

9、在半径为10cm的圆内，C为AO的中点，则阴影的面积为＿＿＿＿。

解：扇形AOB面积为×10×10×π＝25π，三角形BOD面积为×5×10＝25，所以阴影部分面积为25π－25＝25×2.14＝53.5平方厘米。

8、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人？

解：设参加语文小组的人组成集合A，参加英语小组的人组成集合B，参加数学小组的人组成集合C。

那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加语文小组的人有：52－16＝36，为|A∩B|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加英语小组的人有：61－15＝46，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加数学小组的人有：63－21＝42，为|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

于是，三组都参加的人|A∩B∩C|有36+46+42－2×58＝8人。

7、一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？

解：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。

6、甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试乘积情况是：

甲说：“我可能考的最差。”

乙说：“我不会是最差的。”

丙说：“我肯定考的最好。”

丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的。”

成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是__________。

解：甲不会错，

①假设乙错了，于是丙、丁正确，有“丙□□乙”；

②假设丙错了，于是为“…丙…丁…”，所以第一名只能是乙，于是为“乙丙丁甲”；

③假设丁错了，因为丙一定是最好的，所以丁只能是最后一句话错误，也就是说丁是最差的，“丙□□丁”。

即只能在②丙错误的情况下唯一确定为“乙丙丁甲”。

5、某小学六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍，已知这个学校六年级学生共有156人，则这个年级有男生__________人。

解：设有男生11x人，女生y人，那么有，解得，即男生有99人。

4、从1，2，3，…，30这30个自然数中，至少要取出__________个不同的数，才能保证其中一定有一个数是5的倍数。

解：其中不是5的倍数的数有30－＝24个，于是只用选出25个数出来就能满足要求。

3、某自然数加10或减10，都是完全平方数，则这个自然数是__________。

解：设这个自然数为m，，A²－B²＝(A－B)×(A+B)＝20＝2²×5，

而(A－B)与(A+B)同奇同偶，所以只能是，解得，所以m＝6²－10＝26。即这个自然数为26。

2、有红、黄、蓝三面旗，把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按照挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这三面旗能表示__________种不同信号。(不算不挂旗情况)

解：＝15种不同的信号。