5.　 著名的数学家斯蒂芬 巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份

的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数).则他出生的年份是 _____，他去世

时的年龄是 ______　 .

　[答案]1892年;53岁。

　 2 2

　[解] 首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，有1936＝44 ，1849＝43 ，显然只有

1936符合实际，所以斯蒂芬 巴纳赫在1936年为44岁．

那么他出生的年份为1936－44＝1892年．

他去世的年龄为1945－1892＝53岁．

　[提示]要点是：确定范围，另外要注意的潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份－年龄

＝出生年份。

6、一项工程甲 乙合作完成了全工程的10 ，剩下的由甲单独完成，甲一共做了 2 天，这项

工程由甲单独做需15天，如果由乙单独做，需多少天？

　1

　15

解：甲的效率为　 ，关键是求出甲在两人合作之后自己又干了多少天，

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　　　　　　 7　 3　　 3　　 1　 9　　　 1　 9

　　　　 1-=　　　　　　 10- =　　 6

　　　　　 10　 10　 10　 15　 2　　　 2　 2

　　 合作之后工程剩下了 ＝ ， ，所以两人合作干了　　　 天，

　　　 7　 1　　　　　 1

　　 -(　 ￥　　 6)　 6 =

　　 所以乙的效率为 10　　　　 15　　　　 20 。乙单独需要20天

　　 解二，方程法，略

7　 如图，正方形边长为2厘米，以圆孤为分界线的甲 乙两部分面积的差(大的减去小的)是

多少平方厘米？ (取3.14)

解：先求出甲的面积=1/2　 (4--1/4× ×4)=2-　 /2

　　 乙的面积=1/8× ×4-1=　　　　 /2-1

　　 大的减去小的=乙-甲=　　　　 /2-1-- (2-　 /2)

　　　　 =π-3=0.14

实际上就是求2个扇形减去大三角再减去小三角的结果。

8　 12和60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的10倍：

　　　　　 12×60＝720,12+60＝72。

满足这个条 件的正整数 有哪些？

解：11,110；14,35；15,30；20,20。

设满足条件的正整数对是a和b　　　　　　 (a　 b)。依题意有

ab=10(a+b), fi　 ab=10a+10b,

　　 10b　　 10(b - 10) + 100　 100

　　　　　 =

fi ab-10a=10bfi a(b-10)=10bfi a= b - 10　　　 b - 10　　 =10+ b - 10

因为a是正整数，所以b是大于10的整数，并且(b-10)是100的约数。推知b=11,12,14,15,20，相

应地得到a=110,60,35,30,20。即所求正整数对 有11,110；14,35；15,30；20,20；四对。

8、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，

结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是　 ，除数是　　　　　 。

解：设方程求解362X+500=383X+17　　　　 x=23　 除数等于23；被除数=23 ×362=8326

9　 由六个正方形组成的十字架”面积是150平方厘米，它的周长是　　　 。

解：先求出小正方形的边长=5 再求十字架”周长=5×14=70。

二 计算题

1　 甲 乙 丙三种货物，如果购买甲3件 乙7件 丙1件共花3.15元；如果购买甲4件 乙10

件 丙1件共花4.20元，那么购买甲 乙 丙各1件需多少钱？

解：设甲 乙 丙三种货物每件的单价为X，Y，Z

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　 　则：3X+7Y+Z=3.15

　　　　 4X+10Y+Z=4.2

　　 两式相减得到：X+3Y=1.05,　　　 即X=1.05-3Y

　　 对于第一个式子我们可以这样 ：X+2X+7Y+Z=3.15,把上式带入得到

　　 X+2(1.05-3Y)+7Y+Z=3.15　 整理得：X+Y+Z=1.05

　　 说明：本来这是一个三元方程，两个方程式，无法求解，但这个题目只要求出X+Y+Z=?

即可。所以大家做题的时候不必害怕。肯定可以做出来。

　　 设而不求在解决题目当中是一种有效的方法，希望同学们很好的利用。

2　 某工厂第四季度共生产零件1410个，其中10月份与11月份产量的比是6：7，12月份与11月份

产量的比是3：2，求这三个月产量之比是多少？三个月各生产了零件多少个？

解：三个月产量之比12:14:21；将总零件数按比例分配，

　　 三个月各生产了零件:360,420,620

3　 如图，△ABC中，AD：DB=2：1，BE：EC=3：1，CF：FA=4：1，那么△DEF是△ABC

的面积的几分之几？

解：这个题比较烦琐，直接求解显然不是太现实，所以用间接法。

　　 假设△ABC面积是1，然后只要求出△ADF,　 △EFC

　　 15　 BDE　 的面积就可以了，先连接CD.　　　　　 △ACD面积是2/3

　　 则在△ACD中可以求出△ADF的面积为1/5×2/3=2/15

　　 相同的道理可以求出：△BDE=1/4,　　　　　 △EFC=1/5

　　 所以△DEF的面积为1-2/15-1/4-1/5=5/12

　　 另注：这道题也可以用燕尾定理求解。

4　 把一批苹果分给幼儿园大小两个班，平均每人分6个；如果只分给大班，每人可分10个，如

果只分给小班，每人可分几个？

解：设大班X,小班Y。则6(X+Y)=10X　　　　　 所以Y=2 X /3

　　 所以若只分给小班，10X/(2 X /3)=15

　　　　　　 1　 1

　　 1　 ( -　 )　 5= 1

也可以这样解，理解为工程问题，把苹果的数量设为单位1　　　　　 ，那么就有　　　　 6　 10

5　 龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就

停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快

多少米？

解：这个题目不难，先算出兔子跑了330 ×10=3300，乌龟跑了

　　 30 ×(215+10)=6750，此时乌龟只余下7000-6750=250

　　 乌龟 需要250/30=8　 (1/3)分钟到达终点，兔子在这段时间内跑了

　　 8 (1/3)×330=2750，所以乌龟一共跑了3300+2750=6050

　　 所以乌龟先到，快了7000-6050=950

　　　　 7　　　　 1

　10

5、有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的1/3合起来是13亩。麦地的一半和菜地的1/3

合起来是12亩，那么菜地有　　 亩。

解：设二元方程求解即可，菜地X,麦地Y.则：X/2+Y/3=13,X/3+Y/2=12

　　 解得：X=18,Y=12

6　　 学家进行一次实验，每隔5小时作一次记录，他做第12次记录时，时钟正好九点正，问第

一次作记录时，时钟是　 点。

解：这是一个等差数列的问题，很简单。2点

7　 甲数是36，甲 乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是　　　 。

解：甲数×乙数=4 ×288，所以288×4÷36=32

3、有一城镇共5000户居民，每户的子女不超过2人，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一

半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子　　　　 人。

解：设 有1个孩子家庭X个，则孩子共有X+(5000-X)/2×2=5000

4　 1992年爷爷年龄是孙子的10倍，再过12年，爷爷年龄是孙子子的4倍，那么1993年孙子是

岁。

解：设1992年爷爷年龄时10X,孙子为X.　　　　　　 则：4 ×(X+12)=10X+12,则X=6

　　 所以1993年孙子是7岁。

12、如图有5×3个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问可以组成＿＿＿＿个三角形。

解：如下图，任选三点有＝455种选法，其中三点共线的有3+5+4×2＝30+5+8＝43。所以，可以组成三角形455－43＝412。

11、如图在∠AOB内有一定点P。试在角的两边OA、OB上各找个一点M、N使三角形PMN的周长最短，(保留找点时所做的辅助线)并作简单说明。

解：如图所示，做出P点关于OA的对称点P′，做出P点关于OB的对称点P″，连接P′P″，分别交OA、OB。则这两个交点即为所求M、N。

10、当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。

解：当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；

当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。

9、在半径为10cm的圆内，C为AO的中点，则阴影的面积为＿＿＿＿。

解：扇形AOB面积为×10×10×π＝25π，三角形BOD面积为×5×10＝25，所以阴影部分面积为25π－25＝25×2.14＝53.5平方厘米。

8、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人？

解：设参加语文小组的人组成集合A，参加英语小组的人组成集合B，参加数学小组的人组成集合C。

那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加语文小组的人有：52－16＝36，为|A∩B|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加英语小组的人有：61－15＝46，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩B∩C|；

不只参加数学小组的人有：63－21＝42，为|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|；

于是，三组都参加的人|A∩B∩C|有36+46+42－2×58＝8人。