10.

　 3

　 11

　[答案]

　[解]将分子、分母分解因数：9633＝3×3211，35321=11×3211

　[提示]用辗转相除法更妙了。

11.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打

华教授给他们出了道推理题。

华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌：

　 红桃A，Q，4　 黑桃J，8，4，2，7，3，5

　 草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9

华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小

李。然后，华教授问小王和小李，你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗?

　 小王：我不知道这张牌。”

　 小李：我知道你不知道这张牌。”

　 小王：现在我知道这张牌了。”

　 小李：我也知道了。”

　 请问：这张牌是什么牌?

　[答案]方块9。

　[解]小王知道这张牌的点数，小王说：我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A，Q，

4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。

如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的点

数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说：

　我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。

现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。

因为小王知道这张牌的点数，小王说：现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A，

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否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。

　因为小李知道这张牌的花色，小李说：我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则，花色

是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

　[提示]在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。

8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：这个数是2的倍数。”第二个同学说：这

个数是3的倍数。”第三个同学说：这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：这个数是15的

倍数。”最后，老师说：在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最

小的自然数是。

　[答案]60060

　[解]2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的

倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。

所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是(2×5=)10，(3×4=)12，(2

×7)14，(3×5=)15的倍

数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3，4，5，6，

　 2

7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是2 ×3×5×7×11×13=60060。

7. 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和.已知前两

个数是0和1，则最后一个数除以6的余数是 ______ .

　[答案]4

　[解]显然我们只关系除以6的余数，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……

有从第1数开始，每12个数对于6的余数一循环，

因为70÷12＝5……10，

所以第70个数除以6的余数为循环中的第10个数，即4．

　[提示]找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。

6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去时

每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了 _____公里.

　[答案]576

　[解] 记去时时间为 1.5”，那么回来的时间为 1”．

所以回来时间为20÷(1.5+1)＝8小时，则去时时间为1.5×8＝12小时．

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根据反比关系，往返时间比为1.5 ︰1＝3 ︰2,则往返速度为2：3,

按比 分配，知道去的速度为12÷(3-2)×2＝24 (千米)

所以往返路程为24×12×2＝576 (千米)。

5．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，

注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，

使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟.

　[答案]125分钟

　[解] 不难得知应先安排所需时间较短的人打水．

不妨假设为：

　第一个水龙头 第二个水龙头

第一个　 A　 F

第二个　 B　 G

第三个　 C　 H

第四个　 D　 I

第五个　 　E　 J

显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2

次，E、J计算了1次．

那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10．

所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分钟．

评注：下面给出一排队方式：

　第一个水龙头 第二个水龙头

第一个　 1　 2

第二个　 3　 4

第三个　 5　 6

第四个　 7　 8

第五个　 9　 10

　[提示]想象一下，如果你去理发店理发，只需要一分钟，可能这时已有一位阿姨排在你的前

面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她可能很轻松地答应你了。

可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难同意她的要求，而且大

家都认为她的要求不合理，这是为什么呢？

可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是：

　 S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E

所以，要想使总时间S最小，则要A<B<C<D<E.

两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则:

(A+F)<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

4．如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若

这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是　 。

　[答案]5

　[解]由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线

　 3

段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x　 。

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　 对10500做质因数分解：

　 2 3

　 10500=2　 ×3×5 ×7，

3

　 所以，x=5,AB×BD×AD=5 ×2,AC×BC×CD=2×3×7,

　 所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

24. 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为

轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？( =3.14)

　[答案]565.2立方厘米

　[解]设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半

径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘

米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：

　 1　 1

S= 3　 2　 32

×6 ×10×π-2× ×3 ×5×π=90　 ，

2S=180　 =565.2 (立方厘米)

　[提示]S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为

5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

18.

17. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两 ，那么要有 ___ 人报

名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同.

　[答案]46

C2

　10

　[解] 十项比赛，每位同学可以任报两 ，那么有　 ＝45种不同的报名方法．

那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．